Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Silverbullet069

Silverbullet069

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 565 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thay đổi và a + b + c = 4. CMR : $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 4$

*P/s: Xin lỗi các bạn, mình đã sửa đề :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 20-11-2016 - 20:43

"I am the bone of my sword,

 

Unknown to Death, Nor known to Life,

 

So as I pray, unlimited blade works."

 

 


#2
FbPhuongHna

FbPhuongHna

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thay đổi và a + b + c = 4. CMR : $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 6$


Thử xem nào :)) nghi ngờ sai đề :))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FbPhuongHna: 20-11-2016 - 19:17


#3
NguyenVanCao

NguyenVanCao

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

xem lại xem a+b<a+b+c=4 thì đề sai rồi



#4
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thay đổi và a + b + c = 4. CMR : $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 4$

*P/s: Xin lỗi các bạn, mình đã sửa đề :)

Đặt $A=\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a}$

$A^{2}=(\sqrt{1.(a+b)}+\sqrt{1.(b+c)}+\sqrt{1.(c+a)})^{2}\geq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(a+b+b+c+c+a)= 3.2(a+b+c)=24$

$\rightarrow A\geq 2\sqrt{6}> 4$ (đpcm)

 

P/s không biết làm có đúng không.  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 20-11-2016 - 21:07


#5
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Đặt $A=\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a}$

$A^{2}=(\sqrt{1.(a+b)}+\sqrt{1.(b+c)}+\sqrt{1.(c+a)})^{2}\geq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(a+b+b+c+c+a)$$= 3.2(a+b+c)=24$

$\rightarrow A\geq 2\sqrt{6}> 4$ (đpcm)

 

P/s không biết làm có đúng không.  :icon6:

Đoạn này ngược dấu.



#6
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thay đổi và a + b + c = 4. CMR : $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 4$

*P/s: Xin lỗi các bạn, mình đã sửa đề :)

Ta có: $\sum \sqrt{a+b}>4\iff \sum \sqrt{a+b}>2\sqrt{a+b+c}(*)$.

Thật vậy: $(*)\iff 2\sum a+2\sum \sqrt{(b+a)(b+c)}>4\sum a\iff \sum \sqrt{(b+a)(b+c)}>\sum a$.

Do $(b+a)(b+c)\ge (b+\sqrt{ac})^2\implies \sum \sqrt{(b+a)(b+c)}\ge \sum a+\sum \sqrt{ac}>\sum a$.

$\implies Q.E.D$



#7
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thay đổi và a + b + c = 4. CMR : $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} > 4$

*P/s: Xin lỗi các bạn, mình đã sửa đề :)

KMTTQ, $a \geq b \geq c$

Đpcm $$\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b} \geq 2 \sqrt{a+b+c}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{b+c} \geq \frac{c}{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+b}} +\frac{b}{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+c}}$$

Có $$\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+b} \geq \sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+c} \geq \sqrt{b+c}$$

Vậy $$R.H.S \leq \frac{b+c}{\sqrt{b+c}}=L.H.S$$

Ta có điều phải chứng minh.

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 15-03-2017 - 22:46


#8
diemdaotran

diemdaotran

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

đề bài tớ nghĩ la đúng rồi

vì a,b,c la cac số dương thay đổi nên ta có 

a+b+c>a+b $\Leftrightarrow$ 4>a+b $\Leftrightarrow$ 2>$\sqrt{a+b}$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{a+b}>a+b$

tương tự công vế $\Rightarrow$dpcm


                                                                                                                               $\sqrt{M}.\sqrt{F}=\sqrt{MF}$   


#9
dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết

KMTTQ, $a \geq b \geq c$

Đpcm $$\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b} \geq 2 \sqrt{a+b+c}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{b+c} \geq \frac{c}{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+b}} +\frac{b}{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+c}}$$

Có $$\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+b} \geq \sqrt{a+b+c}+\sqrt{a+c} \geq \sqrt{b+c}$$

Vậy $$R.H.S \leq \frac{b+c}{\sqrt{b+c}}=L.H.S$$

Ta có điều phải chứng minh.

Spoiler

$a,b,c$ dương


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh