Đến nội dung


Hình ảnh
* - - - - 1 Bình chọn

Tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 25-11-2016 - 23:38

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-12-2016 - 11:09

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.Qua $M$ dựng đường thẳng $t$ song song với $BC$.

Thiết lập hệ trục tọa độ vuông góc $Cxy$.Trục hoành $Cx$ cùng phương, cùng chiều với vector $\overrightarrow{CA}$.Trục tung $Cy$ có chiều sao cho $y_B> 0$.

Đặt $\widehat{ACD}=\alpha$.Ta có : $D(d\cos\alpha ;d\sin\alpha )$ ; $A(b;0)$ ; $B(a\cos C;a\sin C)$

$\Rightarrow DA+DB=\sqrt{(b-d\cos\alpha )^2+(d\sin\alpha )^2}+\sqrt{(a\cos C-d\cos\alpha )^2+(a\sin C-d\sin\alpha )^2}$ (1)

Trong đó $\cos C$ và $\sin C$ có thể biểu diễn theo $a,b,c$ như sau :

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$  (2)

$\sin C=\frac{2S_{ABC}}{ab}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{2ab}$ (3)

Nếu có thể biểu diễn $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$ theo $a,b,c,d,\cos C,\sin C$ thì xem như bài toán giải quyết xong.

Bây giờ ta tìm mối quan hệ giữa $d$ với $a,b,c$ và các góc $C$ và $\alpha$.

Ta có $AA'//CD$ (vì cùng vuông góc với $\Delta$) $\Rightarrow A'$ nằm ngoài tam giác $ABC$.

Gọi $P$ là giao điểm của $AA'$ và $t\Rightarrow P$ là trung điểm của $AA'\Rightarrow P\in \Delta \Rightarrow PD$ _|_ $CD$

Vậy với góc $\alpha$ cho trước ta có thể dựng điểm $D$ thỏa mãn điều kiện đề bài như sau :

Dựng tia $Cu$ sao cho $\widehat{ACu}=\alpha$ (các tia $Cu$ và $CB$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $CA$)

Dựng tia $Av$ cùng phương với tia $Cu$ sao cho $\widehat{CAv}=\alpha$.Giao điểm của tia $Av$ với $t$ chính là điểm $P$ (tia $Av$ cắt $BC$ tại $A'$)

Kẻ đường thẳng vuông góc với tia $Av$ tại $P$.Giao điểm của đường thẳng này với tia $Cu$ chính là điểm $D$.

Gọi $Q$ là điểm thuộc $t$, nằm khác phía với $D$ đối với đường thẳng $CA$ sao cho $\widehat{AQC}=90^o$.

Theo cách dựng trên ta thấy để $D$ nằm trong tam giác $ABC$ cần có các điều kiện $\alpha < \widehat{ACB}$ và $\alpha < \widehat{CAQ}< 90^o$

Ta có $AA'=2AP=2(b\cos\alpha -d)$ (4)

Mặt khác $AA'=\frac{CA}{\sin AA'C}.\sin ACA'=\frac{b}{\sin(C-\alpha )}.\sin C$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow d=b\cos\alpha -\frac{b\sin C}{2\sin(C-\alpha )}=\frac{b\sin(C-2\alpha )}{2\sin(C-\alpha )}$ (6)

(6) chính là quan hệ giữa $d$ với $b$ và các góc $C$ và $\alpha$.

Nếu từ (6) có thể rút ra biểu thức của $\alpha$ ($\sin\alpha$ và $\cos\alpha$) theo $b,d$ và $\sin C,\cos C$ thì vấn đề sẽ giải quyết xong.Nhưng điều này mình chưa làm được.

Liệu ai có thể làm được không ?  :closedeyes:


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh