Cho $x, y, z>0$, $x+y+z=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$
#2
Đã gửi 28-11-2016 - 12:36
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$
Ta có:
$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$
Và $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$
Bài toán quy về chứng minh:
$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$
Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.
$\square$
#3
Đã gửi 28-11-2016 - 20:44
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$
Ta có:
$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$
Và $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$
Bài toán quy về chứng minh:
$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$
Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.
$\square$
chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z
Trần Quốc Anh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh