Chủ đề này có 3 trả lời

[quanguefa]

Cho $x, y, z>0$, $x+y+z=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$

[Nguyenphuctang]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$

Và  $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$

Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.

$\square$

[anh1999]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$

Và  $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$

Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.

$\square$

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z

[quanguefa]

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z

ko cần bạn vì nhân với cái BĐT kia mà 2 vế BĐT đó khi xảy ra đẳng thức thì bằng 0 mà

cái (x-z)^2 á