Đến nội dung


Hình ảnh

CHỨNG MINH THẲNG HÀNG

chứng minh thẳng hàng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 29-11-2016 - 11:25

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ nội tiếp $(O)$ . $(I)$ cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$ , gọi $H$ là trực tâm tam giac $DEF$ , chứng minh $I,O,H$ thẳng hàng


~O)  ~O)  ~O)


#2 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 29-11-2016 - 18:04

Gọi $AI,BI,CI$ cắt $(ABC)$ tại $M,N,P$.
Dễ dàng chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $MNP$.
Bổ đề:Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$ nội tiếp $(O)$. Khi đó $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$.
Áp dụng bổ đề trên với chú ý $I,O$ là tâm ngoại của $MNP$ và $DEF$ và $\overrightarrow{ID} = \frac{r}{R}.\overrightarrow{OM}$ ta dễ có $\overrightarrow{OI}= \frac{R}{r} \overrightarrow{IH}$
Hệ thức trên chứng tỏ $\overline{O,I,H}$.

#3 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 05-12-2016 - 09:04

$AI,BI,CI$ cắt $EF,FD,DE$ ở $M,N,P.$ Gọi tâm $(MNP)$ là $Z$ thì $\overline{Z,H,I}$ và $IM.IA=IN.IB=IP.IC=ID^2.$

Xét phép nghịch đảo $I_{I}^{ID^2}: M \rightarrow A,N \rightarrow B,P \rightarrow C,(MNP) \rightarrow (ABC) \Rightarrow \overline{Z,O,I}.$

Vậy $\overline{Z,H,O,I},$ đpcm.

 


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#4 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 05-12-2016 - 10:42

Gọi $ I_a, I_b, I_c$ là tâm đường tròn bàng tiếp của góc $ A, B, C$. Ta có $ I$ là trực tâm tam giác $ I_aI_bI_c$ và $ O$ làm tâm Euler của $ I_aI_bI_c$ nên $ OI$ là đường thẳng Euler của $ I_aI_bI_c$, dễ thấy $ I_aI_bI_c$ và $ DEF$ có các cạnh đôi mội song song suy ra 2 đường thẳng Euler của hai tam giác này song song với nhau mà $ I$ là tâm ngoại tiếp $ DEF$, suy ra $ OI$ là đường thẳng Euler tam giác $ DEF$ hay $ I, O, H$ thăng hàng.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh