Chủ đề này có 6 trả lời

[ntqlamthao]

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB=BA và $A^{58} =B^{60}=0$

Chứng minh rằng E-A+2B khả nghịch

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntqlamthao: 30-11-2016 - 21:03

[An Infinitesimal]

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB=BA và $A^{58} =B^{60}=0$

Chứng minh rằng E-A+2B khả nghịch

 

Sau khi tìm cách xoay sở cho "bài toán 2 biến", mình đã tìm lại hướng đi chung cho cả trường hợp 2 biến và trường hợp 1 biến.

Bài toán liên quan và ý tưởng chính để giải quyết bài này đã từng xuất hiện tại:

http://diendantoanho...-3a-khả-nghịch/

 

Ta có $-(E+2B)^{58}=A^{58}-(E+2B)^{58}=-(E-A+2B)Q(A), $

trong đó $Q(A)$ là đa thức bậc 57 với đối số là ma trận $A$ và hệ số chứa $B.$

 

Để chứng minh $ E-A+2B $ khả nghịch, ta sẽ chứng minh $(E+2B)$ khả nghịch.

 

Vì $\frac{1}{2^{61}} E= B^{61}+\frac{1}{2^{61}} E= (B+1/2 E) R(B)$ nên $B+1/2 E$ khả nghịch.

 

 

Cách chứng minh phức tạp như phần Hint (Ta chỉ cần chỉ ra rằng $B$ không nhận trị riêng $-\frac{1}{2}$.)

 

Lý thuyết đa thức tối tiểu triệt tiêu ma trận $B$ cho phép ta kết luận: đa thức tối tiểu $m_B(x)= x^r$ với $r\le \min\{60,n\},$ trong đó $n$ là cấp của ma trận $B$.

 

Lưu ý: mọi đa thức tối tiểu triệt tiêu $B$ đều là bội của đa thức tối tiểu. Hơn nữa, theo định lý Hamiton-Calley, đa thức đặc trưng $P_B$  là đa thức triệt tiêu $B$. Do đó, ta cũng suy ra được $P_B(x)= x^n.$

Do đó, ma trận $B$ chỉ có trị riêng $0.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 05-12-2016 - 21:10

[An Infinitesimal]

Bài có thể "thử nghiệm tiếp": 

 

Vnkvant wrote:

 

Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực, và $A^{2009}=I, B^{2010}=I$ và $AB=BA$. Chứng minh rằng $A+B+E$ khả nghịch.

 

Link:  http://mathvn.net/fo...=823&rowstart=0

 

[Mykingdom]

Sau khi tìm cách xoay sở cho "bài toán 2 biến", mình đã tìm lại hướng đi chung cho cả trường hợp 2 biến và trường hợp 1 biến.

Bài toán liên quan và ý tưởng chính để giải quyết bài này đã từng xuất hiện tại:

http://diendantoanho...-3a-khả-nghịch/

 

Ta có $-(E+2B)^{58}=A^{58}-(E+2B)^{58}=-(E-A+2B)Q(A), $

trong đó $Q(A)$ là đa thức bậc 57 với đối số là ma trận $A$ và hệ số chứa $B.$

 

Để chứng minh $ E-A+2B $ khả nghịch, ta sẽ chứng minh $(E+2B)$ khả nghịch.

 

Vì $\frac{1}{2^{61}} E= B^{61}+\frac{1}{2^{61}} E= (B+1/2 E) R(B)$ nên $B+1/2 E$ khả nghịch.

 

 

Cách chứng minh phức tạp như phần Hint (Ta chỉ cần chỉ ra rằng $B$ không nhận trị riêng $-\frac{1}{2}$.)

 

Lý thuyết đa thức tối tiểu triệt tiêu ma trận $B$ cho phép ta kết luận: đa thức tối tiểu $m_B(x)= x^r$ với $r\le \min\{60,n\},$ trong đó $n$ là cấp của ma trận $B$.

 

Lưu ý: mọi đa thức tối tiểu triệt tiêu $B$ đều là bội của đa thức tối tiểu. Hơn nữa, theo định lý Hamiton-Calley, đa thức đặc trưng $P_B$  là đa thức triệt tiêu $B$. Do đó, ta cũng suy ra được $P_B(x)= x^n.$

Do đó, ma trận $B$ chỉ có trị riêng $0.$

 

Cho mình hỏi là đề bài cho AB=BA để làm gì ạ?

[An Infinitesimal]

Cho mình hỏi là đề bài cho AB=BA để làm gì ạ?

"Thí dụ":  Muốn đảm bảo có đẳng thức $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$, ta cần $AB=BA$.

 

Ở trên cần đẳng thức tương tự!

[Mykingdom]

Bài có thể "thử nghiệm tiếp": 

 

 

 

Link:  http://mathvn.net/fo...=823&rowstart=0

bài này làm như nào ạ?

[An Infinitesimal]

bài này làm như nào ạ?

Ở đây người ta viết đề khá lộn xộn, một lúc $E $ và một lúc $I $.
Ta có
$$ E+(B+E)^{2009}=A^{2009}+(B+E)^{2009}=(A+B+E)Q(A), $$
trong đó $Q(A)$ là một đa thức bậc $2008$ theo $A $ có hệ số chứa $B $ (hoặc xem nó như đa thức bậc $2008$ theo hai ẩn ma trận $A $ và $B. $

Vì thế để chứng minh $A+B+E $ khả nghịch, ta sẽ chứng minh $E+(B+E)^{2009}$ khả nghịch.
Nếu $E+(B+E)^{2009}$ không khả nghịch thì $E+(B+E)^{2009}$ nhận trị riêng $0$. Do đó
$(B+E)^{2009}$ nhận trị riêng $-1$. Suy ra $B $ nhận trị riêng $-1+\alpha $, trong đó $\alpha $ là số phức sao cho $\alpha^ {2009}=-1.$
Hơn nữa, mọi trị riêng $\lambda $ của $B $ thỏa $\lambda^{2010}=1. $
Suy ra điều vô lý. Chính vì thế ta thu được điều phải chứng minh.

Để tìm cách đơn giản hơnchứng minh $E+(B+E)^{2009}$ khả nghịch, ta có thể dựa vào phần dư trong phép chia đa thức $x^{2010}-1$ cho $(x+1)^{2009}+1$.