Chủ đề này có 2 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho $a,b,c\geq 0$

Tìm min:$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}$

[anh1999]

Cho $a,b,c\geq 0$

Tìm min:$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}$

nhận thấy ko có th cả 2 trong 3 số =0 hoặc cả 2 đều =0 

xét 1 trong 3 số=0 giả sử c=0

ta có P=$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\geq 2$

 

dấu = xảy ra khi a=b , c=0 và các hoán vị

th2 $a,b,c\neq 0$

ta có P$>\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

$=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2$

dấu = ko xảy ra nên trong th này P>2

=> min P=2 <=> a=b, c=0 và các hoán vị

[hanguyen445]

Góp 1 cách:

\[P \geqslant \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  = Q\]

\[\left[ {a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + a} \right) + c\left( {a + b} \right)} \right]\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]{Q^2} \geqslant {\left( {a + b + c} \right)^4}\]

\[\sum {a\left( {b + c} \right)} \sum {{a^2}}  \leqslant {\left( {\frac{{\sum {{a^2}}  + 2\sum {ab} }}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{4}\]

\[ \Rightarrow {Q^2} \geqslant 4 \Rightarrow P \geqslant Q \geqslant 2\]