Bài 1: Trên một vòng tròn người ta ghi cách chữ số 2,3,1,1,2,0,1,5.Cứ hai số cạnh nhau ta cộng thêm một vào hai số đó. Hỏi sau một số lần thức hiện ta có thể có các số ghi trên vòng tròn bằng nhau không?
Ta viết 8 số đó lên một hình tròn, mỗi số ở một cung tròn. Ta tô màu đen - trắng xen kẽ, tức là cứ 1 ô đen thì là 1 ô trắng, bắt đầu từ ô chứa số 2.
Gọi Đ là tổng các số ở ô màu đen, T là tổng các số ở ô màu trắng. Ta tính được Đ=6 và T=9.
Sau mỗi lần thực hiện phép biến đổi thì hiệu số của 2 số trên không đổi, tức T-Đ=3. Vậy không thể xảy ra trường hợp 8 số bằng nhau.
Bài 2: Trên một hòn đảo có một loài tấc kè sinh sống, chúng có ba màu: 2014 con màu xanh, 2015 con màu đỏ, 2016 con màu tím. Để lẫn trỗn và săn mồi thì loài tắt kè này biến đổi như sau: Nếu hai on tắt kè cùng màu gặp như thì giữ nguyên màu, hai con tắt kè khác màu gặp nhau thfi chúng chuyển sang màu thứ ba. Hỏi có khi nào tất cả các con tắc kè đều có cùng một màu không?
Dễ thấy lúc đầu hiệu số tắc kè của 2 loại bất kì đều không chia hết cho 3. Mà sau mỗi lần thay đổi thì hiệu số này tăng 3, giảm 3 hoặc không đổi (tự xét từng trường hợp). Như vậy không thể có tất cả cùng 1 màu.
Bài 3: cho 10 số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 và sắp xếp 10 số này thành một hàng tùy ý. cộng mỗi số với số thứ tự của nó ta được 10 số mới. Chứng minh rằng trong 10 số này có ít nhất 2 số có số tận cùng giống nhau.
Giả sử không số nào có hàng đơn vị giống nhau thì các chữ số hàng đơn vị là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 suy ra tổng chúng lẻ mà tổng 10 số mới lại là số chẵn, do đó vô lý. Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 04-12-2016 - 22:09
