Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $P_{2}[x]\rightarrow P_{2}[x]$ thỏa mãn: $f(1-x^2)=-3+3x-6x^2,f(3x+2x^2)=17+x+16x^2,f(2+6+3x^2)=32+7x+25x^2$.
$a,$ Tìm ma trận của $f$ đối với cơ sở chính tắc của $P_{2}[x]$. Tính $f(1+x^2)$
$b,$ Xác định $m$ để véc tơ $v=1+x+mx^2$ thuộc $Imf$
Bạn có thể cho mình mẫu của ý b không cái a thì thôi.
Vì $Im(f) =span\{-3+3x-6x^2,17+x+16x^2,32+7x+25x^2\}.$
nên
$$1+x+mx^2 \in span\{-3+3x-6x^2,17+x+16x^2,32+7x+25x^2\} \iff \exists \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}: 1+x+mx^2 =\alpha\left(-3+3x-6x^2\right)+\beta \left(17+x+16x^2\right)+\gamma \left(32+7x+25x^2\right).$$
Hay hệ phương trình tương ứng ma trận hệ số mở rộng sau có nghiệm
\[\left[\left. \begin{matrix} -3 & 17 & 32\\ 3 & 1& 7\\ -6 & 16 & 25\end{matrix}\right|\begin{matrix}1\\1\\ m \end{matrix}\right].\]
Ma trận trên tương đương dòng với ma trận sau
\[\left[\left. \begin{matrix} -3 & 17 & 32\\ 0 & 18& 39\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|\begin{matrix}1\\2\\ m \end{matrix}\right].\]
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi $r(\tilde{A})= r(A) \iff r(\tilde{A})=3 \iff m=0.$
$B_0= \left( 1, x, x^2 \right)$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{P}_2[x].$
$[f]_{B_0} =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 2 & 1 & -1\\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}$
Vì $Im(f) =span\{1+2x-x^2,3+x+2x^2,4-x+5x^2 \}.$