1 reply to this topic

[Nguyen Ngoc Linh]

Tổng tất cả ước nguyên dương khác 1 của số 360000 là bao nhiêu?

[Dark Magician 2k2]

Tổng tất cả ước nguyên dương khác 1 của số 360000 là bao nhiêu?

Ta có công thức tổng số các ước là

$\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}=1289431$

Vậy tổng cần tìm là

$S=1289431-1=1289430$

 

P/s: Chứng minh công thức trên với hàm tổng các ước là hàm $\delta(n)$ qua các bước

1, Hàm $\delta(n)$ là hàm nhân tính.

VIết $n=a.b,\forall a,b\in\mathbb{Z^+},(a,b)=1$

Giả sử $a$ có các ước là $a_1,a_2,...,a_k$

            $b$ có các ước là $b_1,b_2,...,b_l$

Suy ra các ước của $n$ là $a_ib_j,\forall i=\overline{1,k},j=\overline{1,l}$

Do đó $\delta(n)=\delta(ab)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}a_ib_j=\sum_{i=1}^{k}b_j\sum_{j=1}^{l}a_i=\delta(a).\delta(b)$

Xong.

2, Chứng minh công thức trên

Ta có 

$\delta(p^\alpha)=1+p+p^2+...+p^\alpha=\frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$

Do đó, theo ý trên, ta có

$\delta(n)=\delta(p_1^{\alpha_1}).\delta(p_2^{\alpha_2})...\delta(p_k^{\alpha_k})=...$

Vậy công thức được chứng minh.

Edited by Dark Magician 2k2, 12-12-2016 - 22:02.