Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, tứ giác $ABB'A'$ là hình thoi, $\widehat{A'AC}={{60}^{0}}$, $B'C=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'.$?
ABB'A là hình thoi
$\Rightarrow AA' =AB =AC$
mà $\widehat{A'AC} =60^\circ$
$\Rightarrow AA'C$ đều
gọi D là trung điểm A'C'
ta có $DC =a\frac{\sqrt3}2 =DB' =CB'$
$\Rightarrow B'CD đều$
gọi E là trung điểm B'D
$\Rightarrow CE =\frac34a$
mặt khác $DC, DB'\perp A'C'$
$\Rightarrow (B'CD)\perp A'C'\Rightarrow CE\perp A'C'$
$\Rightarrow CE\perp (ABC)$
$V_{ABC.A'B'C'} =CE .S_{ABC} =\frac{3\sqrt3}{16}a^3$