Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh vào 6 phòng thi khác nhau sao cho mỗi phòng không quá 2 em và không dưới 1 em?
Bài này mình làm theo kiểu:
- Xếp trước 6 HS vào 6 phòng có $A^6_8$ cách.
- Còn lại 2 HS xếp vào 2 trong 6 phòng có $A^2_6$ cách.
Vậy số cách cần tìm: $A^6_8.A^2_6$
Lập luận như vậy có sai sót gì không?
Bạn thực hiện theo 2 bước :
Bước 1 : Xếp $6$ hs vào $6$ phòng.
Bước 2 : Xếp $2$ hs còn lại vào $2$ trong $6$ phòng.
Số cách bạn tính được là $A_8^6.A_6^2=604800$
Hãy thử xét $1$ trong $604800$ cách đó, ví dụ :
Bước 1 : Lần lượt xếp $A,B,C,D,E,F$ vào các phòng $1,2,3,4,5,6$
Bước 2 : Xếp $G$ vào phòng $1$ ; $H$ vào phòng $2$
Ta ký hiệu cách xếp đó như sau $(A1,B2,C3,D4,E5,F6/G1,H2)$
Bây giờ hãy xét thêm $3$ "cách" khác :
$(G1,B2,C3,D4,E5,F6/A1,H2)$ ; $(A1,H2,C3,D4,E5,F6/G1,B2)$ ; $(G1,H2,C3,D4,E5,F6/A1,B2)$
Thử nghĩ kỹ xem, có phải $4$ "cách" trên thực chất chỉ là một không ?
Vậy đáp án đúng phải là $\frac{604800}{4}=151200$ cách.
Dưới đây là cách của mình :
+ Chọn trước $4$ phòng : $C_6^4=15$ cách.
+ Chọn $4$ hs và xếp vào $4$ phòng đó (mỗi phòng $1$ hs) : $A_8^4=1680$ cách.
+ Chia $4$ hs còn lại thành $2$ nhóm đều nhau và xếp vào $2$ phòng còn lại : $C_4^2=6$ cách.
Đáp án là $15.1680.6=151200$ cách.