Câu 1 (5 điểm). Ký hiệu $x_n$ là nghiệm dương duy nhất của phương trình
\[x^n+x^{n-1}+\ldots+x=n+2\]
Chứng minh rằng dãy $\left(x_n\right)$ hội tụ tới một số thực dương. Tìm giới hạn đó.
Câu 2 (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thoả mãn: với mọi $x\in \mathbb{Q}$, ta có đồng thời các đẳng thức sau:
- $f\left(x+1\right)=f\left(x\right)+1$;
- $f\left(x^3\right)=\left(f\left(x\right)\right)^3$.
Câu 3 (5 điểm). Cho đường tròn $\left(O\right)$ và hai điểm $B$, $C$ cố định trên đó. Điểm $A$ thay đổi trên $\left(O\right)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Phân giác trong góc $\angle BAC$ cắt $BC$ và $\left(O\right)$ lần lượt tại $D$ và $E$. Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $F$ sao cho $FD=FE$.
- Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $EF$. Chứng minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.
- Ký hiệu $(I)$ là đường tròn tiếp xúc với các tia $AB$, $AC$ và đường thẳng $EF$ lần lượt tại $M$, $N$ và $P$ (tâm $I$ cùng phía với $A$ đối với đường thẳng $EF$). Lấy điểm $Q$ trên $MN$ sao cho $PQ\perp EF$. Chứng minh rằng $AQ$ đi qua một điểm cố định.
Câu 4 (5 điểm). Tại Trường Đông Toán học 2016, các thầy cô đưa ra tổng cộng $100$ bài toán cho học sinh giải, trong đó có một số bài được các thầy cô cho là khó và gọi là các bài "khoai". Bất ngờ là mỗi bài (dù "khoai" hay không "khoai") đều có đúng $20$ em giải được. Để tổng kết Trường Đông, ban tổ chức sẽ chọn ra một số em để trao giấy khen. Với một cách chọn như vậy, một bài toán sẽ được gọi là "củ chuối" nếu nó là một bài "khoai" nhưng cả $20$ em giải được nó đều không được giấy khen, hoặc nếu nó không phải "khoai " nhưng cả $20$ em giải được nó đều được giấy khen. Chứng minh rằng ban tổ chức có thể chọn ra một số học sinh để trao giấy khen sao cho trong số $100$ bài toán đưa ra có không quá $4$ bài "củ chuối".
Câu 5 (6 điểm). Tồn tại hay không $2016$ số nguyên tố phân biệt $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{2016}$ và số nguyên dương $n$ mà
\[\sum^{2016}_{i=1} \dfrac{1}{p^2_i+1} = \dfrac{1}{n}?\]
Câu 6 (7 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$; hạ $HK\perp BC$.
- Gọi $J$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng $AD$, $KJ$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(T)$ ngoại tiếp tam giác $DHK$.
- Cho $AD$ cắt $(I)$ tại $P$. Trên các đường thẳng $DE$, $DF$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\angle MPE=\angle NPF=90^\circ$. Chứng minh rằng $DJ$ là trục đẳng phương của đường tròn $(T)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$.
Câu 7 (7 điểm). Tìm số thực $c$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực $x$, $y$, $z$ mà $x+y+z=1$, ta có bất đẳng thức
\[\left|x^3+y^3+z^3-1\right|\leqslant c\left|x^5+y^5+z^5-1\right|.\]
Với giá trị đó của $c$ thì đẳng thức xảy ra khi nào?