Đến nội dung

Hình ảnh

$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
pinkyha

pinkyha

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: N^*-->N^*$ sao cho 

 

$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$

 


I love Math forever...

Math is my life...

Fighting ^^

Don't Lazy, my girl...

 


#2
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

 

Tìm tất cả các hàm số $f: N^*-->N^*$ sao cho 

 

$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$

 

Cố định $ m$, giả sử có $ f(n_1)=f(n_2)$, ta có $ f(m+f(n_1))=f(m+f(n_2)) \implies n_1+f(m+1)=n_2+f(m+1) \implies n_1=n_2 $, nên $ f$ đơn ánh.

Thay $ m$ bởi $ f(1)$ ta được

$ f(f(n)+f(1))=n+f(f(1)+1)=n+1+f(1+1)=f(f(n+1)+1) \forall n \in \mathbb{N}^*$

Do $ f$ đơn ánh nên $ f(n)+f(1)=f(n+1)+1$

$ \implies f(n)-f(n-1)=...=f(2)-f(1)=f(1)-1=c \implies f(n)-1=nc \implies f(n)=nc+1 \forall n \in \mathbb{N}^* $

Thay $f(n)=nc+1 $ vào phương trình ban đầu ta tìm được $ c=1$, vậy$ f(n)=n+1 \forall n \in \mathbb{N}^* $






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh