Đến nội dung

Hình ảnh

$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

x,y,z>0

x+y+z=3

CMR:

$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 18-12-2016 - 09:21

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#2
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

Dùng U.C.T


Nothing in your eyes


#3
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

a,b,c>0

a+b+c=3

CMR:

$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$

Bạn chưa đề cập $x,y,z$ là gì thì phải.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#4
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

Bạn chưa đề cập $x,y,z$ là gì thì phải.

Mình edit r :)


Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#5
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết
Dùng phương pháp dồn biến...

#6
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

các bạn full hộ mình đi :3


Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Dùng phương pháp dồn biến...

 

Bài này đúng là có thể giải bằng dồn biến nhưng nếu dồn thông thường sẽ không được. Em dồn theo kiểu nào ?

 

x,y,z>0

x+y+z=3

CMR:

$f(x,y,z) = 8\sum \frac{1}{x}+9 - 10(x^2+y^2+z^2) \geqslant 0$

 

Đăt $ab+bc+ca=3-3t^2,a^2+b^2+c^2=3+6t^2,\,(0\leqslant t < 1).$ Bất đẳng thức trở thành

\[\frac{8(1-t^2)}{abc} +3 \geqslant 10(1+2t^2).\]

Sử dụng kết quả $abc \leqslant (1+t)(1-t)^2$ ta đưa bài toán về chứng minh

\[\frac{8(1-t^2)}{(1+2t)(1-t)^2} +3 \geqslant 10(1+2t^2),\]

hay là

\[\frac{(10t^2+5t+1)(1-2t)^2}{(1-t)(1+2t)} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

x,y,z>0

x+y+z=3

CMR:

$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$

 

 

Bài này đúng là có thể giải bằng dồn biến nhưng nếu dồn thông thường sẽ không được. Em dồn theo kiểu nào ?

 

Dạ bài này em sử dụng phương pháp dồn biến về hai biến bằng nhau phối hợp với dồn biến về biên.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z,$ khi đó ta xem $z$ là biên của $x, y$ và thực hiện dồn biến về biên như thông thường. Ta cần chứng minh $f(x, y, z)-f(x+y-z, z, z)\geq 0,$ hay

$8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+9-10(x^{2}+y^{2}+z^{2})-8(\frac{1}{x+y-z}+\frac{2}{z})-9+10\left ( (x+y-z)^{2}+2z^{2} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y-z})+10\left ( (x+y-z)^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 8\left ( \frac{(yz+zx-xy)(x+y-z)-xyz}{xyz(x+y-z)} \right )+10(2z^{2}+2xy-2yz-2zx)=\frac{-8(x+y)(z-x)(z-y)}{xyz(x+y-z)}+20(z-x)(z-y)\geq 0\Leftrightarrow 4(z-x)(z-y)\left ( 5-\frac{2(x+y)}{xyz(x+y-z)} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 4(z-x)(z-y)\left ( 5xyz(x+y-z)-2(x+y) \right )\geq 0.$ 

Từ $x\geq y\geq z,$ ta dễ dàng suy ra $4(z-x)(z-y)\geq 0.$ Mặt khác từ $x+y+z=3$ thì ta có $xyz\leq 1 \Leftrightarrow 5xyz\leq 5 \Rightarrow 5\geq 5xyz> 4.$ 

Từ đây ta có $5xyz(x+y-z)-2(x+y)> 4(x+y-z)-2(x+y)=2x+2y-4z=2(x+y-2z)\geq 0.$ Vậy $f(x, y, z)\geq f(x+y-z, z, z).$ Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $f(x+y-z, z, z)\geq 0\Leftrightarrow f(3-2z, z, z)\geq 0.$ Tới đây ta thế vào rồi biến đổi tương đương chút xíu là ta có điều phải chứng minh...Lười gõ quá...

 

+Mong anh Huyện xem xét bài làm của em, có gì sai xót mong anh chỉ giáo...



#9
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử a = max{a,b,c} thì $1\leqslant a<3$

Ta cần chứng minh: $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+42(a+b+c)-117\geqslant 10(a^2+b^2+c^2)$ 

$\Leftrightarrow (-10b^2+42b+\frac{8}{b}-\frac{69}{2})+(-10c^2+42c+\frac{8}{c}-\frac{69}{2})\geqslant 10a^2-42a-\frac{8}{a}+48$

$\Leftrightarrow \frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}=\frac{(2b-1)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^2}{\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(2b+2c-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c} }=\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$

Đến đây, ta cần chỉ ra: $\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $ hay $\frac{(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 5a-1)}{a}$

Do $a\geqslant b, a\geqslant c$ nên $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leqslant \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}$

Bây giờ ta cần có: $\frac{(a-2)^2(16-5a)}{3-a}\geqslant \frac{(a-2)^2(5a-1)}{a}\Leftrightarrow \frac{3(a-2)^2}{a(3-a)}\geqslant 0 $  (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)\rightarrow (2,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-04-2021 - 11:31

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh