x,y,z>0
x+y+z=3
CMR:
$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 18-12-2016 - 09:21
x,y,z>0
x+y+z=3
CMR:
$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 18-12-2016 - 09:21
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
Dùng U.C.T
Nothing in your eyes
a,b,c>0
a+b+c=3
CMR:
$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$
Bạn chưa đề cập $x,y,z$ là gì thì phải.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
Bạn chưa đề cập $x,y,z$ là gì thì phải.
Mình edit r
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
các bạn full hộ mình đi :3
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
Dùng phương pháp dồn biến...
Bài này đúng là có thể giải bằng dồn biến nhưng nếu dồn thông thường sẽ không được. Em dồn theo kiểu nào ?
x,y,z>0
x+y+z=3
CMR:
$f(x,y,z) = 8\sum \frac{1}{x}+9 - 10(x^2+y^2+z^2) \geqslant 0$
Đăt $ab+bc+ca=3-3t^2,a^2+b^2+c^2=3+6t^2,\,(0\leqslant t < 1).$ Bất đẳng thức trở thành
\[\frac{8(1-t^2)}{abc} +3 \geqslant 10(1+2t^2).\]
Sử dụng kết quả $abc \leqslant (1+t)(1-t)^2$ ta đưa bài toán về chứng minh
\[\frac{8(1-t^2)}{(1+2t)(1-t)^2} +3 \geqslant 10(1+2t^2),\]
hay là
\[\frac{(10t^2+5t+1)(1-2t)^2}{(1-t)(1+2t)} \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
x,y,z>0
x+y+z=3
CMR:
$8\sum \frac{1}{x}+9\geq 10(x^2+y^2+z^2)$
Bài này đúng là có thể giải bằng dồn biến nhưng nếu dồn thông thường sẽ không được. Em dồn theo kiểu nào ?
Dạ bài này em sử dụng phương pháp dồn biến về hai biến bằng nhau phối hợp với dồn biến về biên.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z,$ khi đó ta xem $z$ là biên của $x, y$ và thực hiện dồn biến về biên như thông thường. Ta cần chứng minh $f(x, y, z)-f(x+y-z, z, z)\geq 0,$ hay
$8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+9-10(x^{2}+y^{2}+z^{2})-8(\frac{1}{x+y-z}+\frac{2}{z})-9+10\left ( (x+y-z)^{2}+2z^{2} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y-z})+10\left ( (x+y-z)^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 8\left ( \frac{(yz+zx-xy)(x+y-z)-xyz}{xyz(x+y-z)} \right )+10(2z^{2}+2xy-2yz-2zx)=\frac{-8(x+y)(z-x)(z-y)}{xyz(x+y-z)}+20(z-x)(z-y)\geq 0\Leftrightarrow 4(z-x)(z-y)\left ( 5-\frac{2(x+y)}{xyz(x+y-z)} \right )\geq 0$ $\Leftrightarrow 4(z-x)(z-y)\left ( 5xyz(x+y-z)-2(x+y) \right )\geq 0.$
Từ $x\geq y\geq z,$ ta dễ dàng suy ra $4(z-x)(z-y)\geq 0.$ Mặt khác từ $x+y+z=3$ thì ta có $xyz\leq 1 \Leftrightarrow 5xyz\leq 5 \Rightarrow 5\geq 5xyz> 4.$
Từ đây ta có $5xyz(x+y-z)-2(x+y)> 4(x+y-z)-2(x+y)=2x+2y-4z=2(x+y-2z)\geq 0.$ Vậy $f(x, y, z)\geq f(x+y-z, z, z).$ Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $f(x+y-z, z, z)\geq 0\Leftrightarrow f(3-2z, z, z)\geq 0.$ Tới đây ta thế vào rồi biến đổi tương đương chút xíu là ta có điều phải chứng minh...Lười gõ quá...
+Mong anh Huyện xem xét bài làm của em, có gì sai xót mong anh chỉ giáo...
Giả sử a = max{a,b,c} thì $1\leqslant a<3$
Ta cần chứng minh: $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+42(a+b+c)-117\geqslant 10(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (-10b^2+42b+\frac{8}{b}-\frac{69}{2})+(-10c^2+42c+\frac{8}{c}-\frac{69}{2})\geqslant 10a^2-42a-\frac{8}{a}+48$
$\Leftrightarrow \frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}=\frac{(2b-1)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^2}{\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(2b+2c-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c} }=\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$
Đến đây, ta cần chỉ ra: $\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $ hay $\frac{(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 5a-1)}{a}$
Do $a\geqslant b, a\geqslant c$ nên $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leqslant \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}$
Bây giờ ta cần có: $\frac{(a-2)^2(16-5a)}{3-a}\geqslant \frac{(a-2)^2(5a-1)}{a}\Leftrightarrow \frac{3(a-2)^2}{a(3-a)}\geqslant 0 $ (đúng)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-04-2021 - 11:31
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh