Cho dãy số nguyên dương tăng ngặt $\left ( a_n \right )_{n=1}^\infty$ thỏa $a_n\leq p_n,\forall n\in \mathbb{Z}$, trong đó $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh tập các ước số nguyên tố của dãy vô hạn.
Chứng minh tập các ước số nguyên tố của dãy vô hạn.
Lời giải nhungvienkimcuong, 14-12-2022 - 21:42
Tính chất. $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$.
Quay lại bài toán. Giả sử tập ước nguyên tố của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn phần tử là $q_1,q_2,\dots,q_m$. Gọi $A$ là tập hợp chứa tất cả các số nguyên là bội của một phần tử nào đó thuộc tập hợp $\{q_1,q_2,\dots,q_m\}$. Khi đó
\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\le \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-q_i^{-1}}<\infty.\]
Mặt khác $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\ge \sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$ (mâu thuẫn).
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 22-12-2016 - 07:40
#2
Đã gửi 14-12-2022 - 21:42
Tính chất. $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$.
Quay lại bài toán. Giả sử tập ước nguyên tố của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn phần tử là $q_1,q_2,\dots,q_m$. Gọi $A$ là tập hợp chứa tất cả các số nguyên là bội của một phần tử nào đó thuộc tập hợp $\{q_1,q_2,\dots,q_m\}$. Khi đó
\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\le \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-q_i^{-1}}<\infty.\]
Mặt khác $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\ge \sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$ (mâu thuẫn).
- perfectstrong và Hoang72 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh