Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tập các ước số nguyên tố của dãy vô hạn.

- - - - -

Lời giải nhungvienkimcuong, 14-12-2022 - 21:42

Tính chất. $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$.

 

Quay lại bài toán. Giả sử tập ước nguyên tố của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn phần tử là $q_1,q_2,\dots,q_m$. Gọi $A$ là tập hợp chứa tất cả các số nguyên là bội của một phần tử nào đó thuộc tập hợp $\{q_1,q_2,\dots,q_m\}$. Khi đó

\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\le \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-q_i^{-1}}<\infty.\]

Mặt khác $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\ge \sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$ (mâu thuẫn).

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Cho dãy số nguyên dương tăng ngặt $\left ( a_n \right )_{n=1}^\infty$ thỏa $a_n\leq p_n,\forall n\in \mathbb{Z}$, trong đó $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh tập các ước số nguyên tố của dãy vô hạn.



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết
✓  Lời giải

Tính chất. $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$.

 

Quay lại bài toán. Giả sử tập ước nguyên tố của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn phần tử là $q_1,q_2,\dots,q_m$. Gọi $A$ là tập hợp chứa tất cả các số nguyên là bội của một phần tử nào đó thuộc tập hợp $\{q_1,q_2,\dots,q_m\}$. Khi đó

\[\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\le \sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-q_i^{-1}}<\infty.\]

Mặt khác $\sum_{n\ge 1}\frac{1}{a_n}\ge \sum_{n\ge 1}\frac{1}{p_n}=\infty$ (mâu thuẫn).


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh