Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AC>BC$. Gọi $O,H$ là tâm ngoại tiếp và trực tâm . $F$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $AB$.$P$ thuộc $AB$ sao cho $FA=FP$. $M$ là trung điểm $AC$.$PH$ giao $BC$ tại $X$ ;$OM$ giao $FX$ tại $Y$ ;$FO$ giao $AC$ tại $Z$. Chứng minh: $F,M,Y,Z$ đồng viên
$F,M,Y,Z$ đồng viên
#1
Đã gửi 25-12-2016 - 22:54
- manhhung2013, manh nguyen truc và Kamii0909 thích
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
#2
Đã gửi 26-12-2016 - 09:48
Qua F kẻ đường vuông góc với FO cắt (O) tại R và S. AH cắt (O) tại E. Dễ thấy F là trung điểm của HE, RS và AP nên ARPS, RHSE là các hình bình hành.
Dễ thấy HCBP là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tứ giác RHPS là tứ giác nội tiếp bằng cách xét tổng 2 góc $\angle RHP+\angle RSP=\angle RHF+\angle FHP+\angle RSP=\angle FES+\angle ABC+\angle RSP=180^{0}$
Các đường tròn (RHPS), (HCBP), (O) cắt nhau tại RS, HP, BC nên 3 đường này đồng quy tại X.
Vậy XF vuông góc với FO tại F.
Do YM vuông góc với AC tại M nên F, M, Y, Z đồng viên.
- manhhung2013 yêu thích
#3
Đã gửi 02-01-2017 - 09:34
Qua F kẻ đường vuông góc với FO cắt (O) tại R và S. AH cắt (O) tại E. Dễ thấy F là trung điểm của HE, RS và AP nên ARPS, RHSE là các hình bình hành.
Dễ thấy HCBP là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tứ giác RHPS là tứ giác nội tiếp bằng cách xét tổng 2 góc $\angle RHP+\angle RSP=\angle RHF+\angle FHP+\angle RSP=\angle FES+\angle ABC+\angle RSP=180^{0}$
Các đường tròn (RHPS), (HCBP), (O) cắt nhau tại RS, HP, BC nên 3 đường này đồng quy tại X.
Vậy XF vuông góc với FO tại F.
Do YM vuông góc với AC tại M nên F, M, Y, Z đồng viên.
các chỗ tính góc bạn nên viết góc định hướng!!!
- manhhung2013 và quantv2006 thích
#4
Đã gửi 02-01-2017 - 11:21
các chỗ tính góc bạn nên viết góc định hướng!!!
Góc định hướng thật ra cũng như góc bình thường thôi, hơn nữa bài này đã cho sẵn tam giác nhọn và $AC>BC$ nên không cần thiết dùng góc định hướng làm gì.
Hoặc cũng có thể tránh dùng bằng cách xét một số trường hợp khác nhau của hình vẽ.
- manhhung2013 và quanghung86 thích
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#5
Đã gửi 07-01-2017 - 14:37
$\textbf{Lời giải}$
Kẻ $CH$ cắt $(O)$ tại $K$. $FX$ cắt $AK$ tại $N$.
Dễ thấy $FX=FN$ nên áp dụng định lý con bướm đảo vào tứ giác nội tiếp $AKBC$ tâm $O$ có $OF \perp FX$.
Phần sau dễ rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 07-01-2017 - 14:38
- quantv2006 và NTMFlashNo1 thích
#6
Đã gửi 08-01-2017 - 00:58
các chỗ tính góc bạn nên viết góc định hướng
Bài này không khó, chắc lấy ý tưởng từ bài Trường Đông năm nay.
$\textbf{Lời giải}$
Kẻ $CH$ cắt $(O)$ tại $K$. $FX$ cắt $AK$ tại $N$.
Dễ thấy $FX=FN$ nên áp dụng định lý con bướm đảo vào tứ giác nội tiếp $AKBC$ tâm $O$ có $OF \perp FX$.
Phần sau dễ rồi.
Góc định hướng thật ra cũng như góc bình thường thôi, hơn nữa bài này đã cho sẵn tam giác nhọn và $AC>BC$ nên không cần thiết dùng góc định hướng làm gì.
Hoặc cũng có thể tránh dùng bằng cách xét một số trường hợp khác nhau của hình vẽ.
Các bạn có thể cho mình biết góc định hướng có lợi hơn so với góc vô hướng ntn ko, phải làm ntn để có thể sử dụng thành thạo góc định hướng?
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh