Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tính giới hạn của tổng $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 giomua

giomua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 28-12-2016 - 17:45

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $



#2 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình như là ko có

Đã gửi 31-12-2016 - 01:35

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $

Dễ thấy $u_n>0$  và $(u_n)$ là dãy tăng.

Giả sử $(u_n)$ hội tụ, tức là tồn tại $a=lim u_n$

Khi đó: $a=a(\sqrt{a}+1)^{2}\Leftrightarrow a=0$ (loại vì $a<u_1<...<u_n$

Ta có: $u_{n+1}=u_n(\sqrt{u_n}+1)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_{n}}(\sqrt{u_n}+1)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n}+1}}$

Do đó: $S_n=\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2017}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$

$\Rightarrow limS_n=\frac{1}{\sqrt{2017}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 01-01-2017 - 21:43

Success doesn't come to you. You come to it.


#3 giomua

giomua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 31-12-2016 - 16:41

Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ



#4 giomua

giomua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 31-12-2016 - 16:43

$\frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$

 

Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giomua: 31-12-2016 - 16:44


#5 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình như là ko có

Đã gửi 01-01-2017 - 21:44


Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ

À đoạn ấy mình đánh nhầm đấy, mình đã sửa lại rồi


Success doesn't come to you. You come to it.


#6 VOHUNGTUAN

VOHUNGTUAN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:a1k45 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:don't like any thing

Đã gửi 09-01-2017 - 19:53

Dễ thấy $u_n>0$  và $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử $(u_n)$ hội tụ, tức là tồn tại $a=lim u_n$
Khi đó: $a=a(\sqrt{a}+1)^{2}\Leftrightarrow a=0$ (loại vì $a<u_1<...<u_n$
Ta có: $u_{n+1}=u_n(\sqrt{u_n}+1)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_{n}}(\sqrt{u_n}+1)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n}+1}}$
Do đó: $S_n=\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2017}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$
$\Rightarrow limS_n=\frac{1}{\sqrt{2017}}$

Bạn làm chuẩn quá, mình nghĩ đoạn giả sử đó có thể lược đi, khẳng định khi n -> dương vô cùng thì lim Un bằng dương vô cùng luôn là được phải ko nhỉ. Bài này nếu thay giả thiết là U1>0 vẫn làm đuọc phải ko bạn???

TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

 

VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI

!

 

(~~)  :ukliam2:  >:)  :ukliam2:  (~~)

:ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2:  :lol:  :mellow:  :D :mellow:   :lol:  :ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2: 

~O)  ~O)  ~O)
 

 


#7 Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình như là ko có

Đã gửi 10-01-2017 - 02:35

Bạn làm chuẩn quá, mình nghĩ đoạn giả sử đó có thể lược đi, khẳng định khi n -> dương vô cùng thì lim Un bằng dương vô cùng luôn là được phải ko nhỉ. Bài này nếu thay giả thiết là U1>0 vẫn làm đuọc phải ko bạn???

Tất nhiên là có bởi bạn đã làm bài mở rộng này trước lớp rồi mà, không nhớ à  :D


Success doesn't come to you. You come to it.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh