Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh 2A'A+E khả nghịch

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
ntqlamthao

ntqlamthao

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

$A=\begin{bmatrix}3 &2  &-1  &4 \\ -1&4  &2  &-3 \\  3&-2  &1  &m \\  4&-2  &3  &4 \end{bmatrix}$

chứng minh rằng 2A'A +E khả nghịch với số nguyên m, trong đó  E là ma trận đơn vị cấp 4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntqlamthao: 29-12-2016 - 23:12

NGUYỄN THANH QUANG

#2
Ruby Dalek

Ruby Dalek

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho mình hỏi ma trận A' là ma trận gì vậy ạ?



#3
ntqlamthao

ntqlamthao

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

A' là ma trận chuyển vị của ma trận A bạn ạ. bạn có ý tưởng gì cho bài toán này không


NGUYỄN THANH QUANG

#4
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

 

$A=\begin{bmatrix}3 &2  &-1  &4 \\ -1&4  &2  &-3 \\  3&-2  &1  &m \\  4&-2  &3  &4 \end{bmatrix}$

chứng minh rằng 2A'A +E khả nghịch với số nguyên m, trong đó  E là ma trận đơn vị cấp 4

 

Tính ma trận nghịch đảo của $A$, rồi tính $\det(2A^T+A^{-1})$ và chứng minh nó khác $0$ thì suy ra ngay đpcm. Ý tưởng thì có rất nhiều, quan trọng là phải tính toán thôi.


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#5
ntqlamthao

ntqlamthao

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Theo mình thấy thì tính toán như bạn quá phức tạp. Bài toán này nằm trong một đề thi 90p, gồm 9 ý khác, Tính thế này thì không kịp thời gian được. Theo mình phải có ý tưởng khác


NGUYỄN THANH QUANG

#6
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Theo mình thấy thì tính toán như bạn quá phức tạp. Bài toán này nằm trong một đề thi 90p, gồm 9 ý khác, Tính thế này thì không kịp thời gian được. Theo mình phải có ý tưởng khác

 

Bạn có thể tính nhanh đa thức đặc trưng của ma trận $A$  hay không?

 

Nếu $2A'A+E$ suy biến thì $A$ nhận $-\frac{1}{2}$ là trị riêng của $A$.

 

Sau đó, ta thấy với $m$ là số nguyên thì $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức đặc trưng. Do đó, ta suy ra điều cần cm.


Đời người là một hành trình...


#7
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Bạn có thể tính nhanh đa thức đặc trưng của ma trận $A$  hay không?

 

Nếu $2A'A+E$ suy biến thì $A$ nhận $-\frac{1}{2}$ là trị riêng của $A$.

 

Sau đó, ta thấy với $m$ là số nguyên thì $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức đặc trưng. Do đó, ta suy ra điều cần cm.

Tại sao $\dfrac{-1}{2}$ là giá trị riêng của $A$ nhỉ?


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#8
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Tại sao $\dfrac{-1}{2}$ là giá trị riêng của $A$ nhỉ?

Mình gõ nhầm! Phải là $\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$.

 

Nhận xét này thu được thông qua nhận xét: $2A'A+E$ là ma trận đối xứng xác định không âm. 


Đời người là một hành trình...


#9
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Tổng quát là ma trận $A^{t}A$ luôn luôn là ma trận đối xứng. 


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#10
san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

A^TA đối xứng và xác định dương nên không nhận $-1/2$ làm trị riêng






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh