Đến nội dung


Hình ảnh

Tính giới hạn của tổng $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$ biết dãy số...


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 giomua

giomua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 30-12-2016 - 16:56

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $



#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 326 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 02-01-2017 - 12:11

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $

 

 

Đầu tiên, do $u_1=2017>0$ nên $u_2>0$, $u_3>0$, $\ldots$ $u_n>0\ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$. Mặt khác ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\sqrt{u_n}+1\right)^2>1$ (vì $u_n>0$), do đó $u_{n+1}>u_n \ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$

Vậy ta có $2017<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$.

 

Giả sử $\left(u_n\right)$ bị chặn trên. Theo nguyên lý $Weierstrass$ thì $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn $L\in \mathbb{R}$, $L>2017$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn thì ta có ngay $L=0$, mâu thuẫn. Vậy $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên, do đó $\lim_{n\to +\infty}=+\infty$.

 

Mặt khác ta có

\begin{align*} &\phantom{~\iff} \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right) \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right)} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\end{align*}

 

Vậy ta có

\[S_n=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{u_k}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_1}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}\]

 

 

Vì $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=+\infty$ nên ta có ngay $\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{\sqrt{2017}}{2017}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 02-01-2017 - 12:14

$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 16-01-2017 - 22:24

Đầu tiên, do $u_1=2017>0$ nên $u_2>0$, $u_3>0$, $\ldots$ $u_n>0\ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$. Mặt khác ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\sqrt{u_n}+1\right)^2>1$ (vì $u_n>0$), do đó $u_{n+1}>u_n \ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$

Vậy ta có $2017<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$.

 

Giả sử $\left(u_n\right)$ bị chặn trên. Theo nguyên lý $Weierstrass$ thì $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn $L\in \mathbb{R}$, $L>2017$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn thì ta có ngay $L=0$, mâu thuẫn. Vậy $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên, do đó $\lim_{n\to +\infty}=+\infty$.

 

Mặt khác ta có

\begin{align*} &\phantom{~\iff} \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right) \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right)} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\end{align*}

 

Vậy ta có

\[S_n=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{u_k}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_1}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}\]

 

 

Vì $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=+\infty$ nên ta có ngay $\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{\sqrt{2017}}{2017}$.

thật ra bài này là $lim U_{n}=+\infty$ không cần phải dùng định lý $weierstrass$ mà hình như bạn dùng định lý này cũng bị sai nữa ấy$U_{n}$ tăng và bị chặn trên mới có giới hạn nha bạn 
Hoặc bạn chỉ cần giả sử dãy có bị chặn trên nhưng dãy không có giới hạn hữu hạn nên dãy tiến tới$+\infty$ cũng dc


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 16-01-2017 - 23:07


#4 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 326 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 21-01-2017 - 15:49

thật ra bài này là $lim U_{n}=+\infty$ không cần phải dùng định lý $weierstrass$ mà hình như bạn dùng định lý này cũng bị sai nữa ấy$U_{n}$ tăng và bị chặn trên mới có giới hạn nha bạn 
Hoặc bạn chỉ cần giả sử dãy có bị chặn trên nhưng dãy không có giới hạn hữu hạn nên dãy tiến tới$+\infty$ cũng dc

$u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n$ thì chẳng phải là tăng ư? Sau đó mình chia trường hợp chặn trên và không chặn trên...

 

À mà, có cách không dùng Weierstrass à :D


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh