Chủ đề này có 1 trả lời

[hanh7a2002123]

Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz$

[PlanBbyFESN]

Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

 

$\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}=\sum \frac{(xy+xz)^{2}}{x(y+z) (4-yz)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)^{2}}{\sum x(y+z)(4-yz)}$

 

Mà ta có: $(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)=9xyz$            (Am-Gm)

 

$\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx)^{2}}{\sum x(y+z)(4-yz)}\geq \frac{36xyz}{\sum x(y+z)(4-yz)}\geq 2xyz$

 

$\Leftrightarrow \sum x(y+z)(4-yz)\leq 18$

 

Khai triển và rút gọn:  $\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 9$

                                   $\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)(x+y+z)-9xyz\leq (x+y+z)^{3}$           (Do $x+y+z=3$)

                                   $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$          (Shur bậc 3)

                                                                                                                 ($\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ ~ (Am-Gm))

 

$\Rightarrow DPCM$ .............................