Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1} \geq \sum a$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-01-2017 - 22:25


#2
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Bạn có thể gợi ý cho mình hướng làm không

mình đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z

áp dụng bất đẳng thức abc $\geq$ (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = xyz

VP sẽ thành x+y+z còn tử số ở VT cũng đẹp nhưng mẫu số thì mình không biết làm thế nào

Mong bạn giúp đỡ  :D


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Nice problem ! 

Lời giải :

Để ý rằng $a+b+c=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c).$

BĐT cần chứng minh tương đương với : 

$$ \sum [\frac{abc+b+c-a}{a^2+1}-(b+c-a)] \geq 0$$

$$\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+1}+\frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+1}+\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+1} \geq 0$$

Giả sử $a \geq b \geq c$. Theo tiêu chuẩn của bđt Vornicu Schur thì ta cần chứng minh :

$$\frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{b^2}{b^2+1} \Leftrightarrow a \geq b$$ Đúng theo điều đã giả sử.

Chứng minh hoàn tất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-01-2017 - 02:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh