câu PTH :$P(1,x-2f(1))\Leftrightarrow f(f(x-2f(1))-f(1))=x$ suy ra f:toàn ánh .tiếp ta giả sử $f(m)=f(n)=q,P(1,m)=P(1,n)\Leftrightarrow m=n$ suy ra nó song ánh
$\exists u ,f(u)=0$.$P(u,0)\rightarrow f(ua)=f(u)$ với $f(0)=a\rightarrow a=1$ hoặc $u=0$.xét u=0 ,$P(x,0)\rightarrow f(x)=-2x$ ( thay vào k thõa ) và có được do dùng tính chất toàn ánh
xét a=1 ,$P(u,u)\rightarrow u=1;-1$.xét u=-1,$P(x;-1)\rightarrow f(-f(x))=2f(x)-x,P(-1;x)\rightarrow f(-f(x))=-x\rightarrow f(x)=0$ ( k thõa ) suy ra u=1
$P(1,x)\rightarrow f(f(x))=x,P(0,1)\rightarrow f(-1)=2;P(x;f(-1))\rightarrow f(-x-f(x))=2(f(x)+x)$.ta có
$\exists v ,f(v)=x+f(x)\rightarrow f(-f(v))=2f(v),P(v,1)\rightarrow f(-f(v))=2f(v)+v\rightarrow v=0\rightarrow f(x)=1-x$ (thử lại thõa)