Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 01634908884

01634908884

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Phát triển bản thân;toán học;đọc sách;du lịch; yêu mọi người

Đã gửi 04-01-2017 - 15:32

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$


. Mây tầng nào gặp gió tầng ấy. :D 


#2 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K70 Đại học Sư phạm Hà Nội

Đã gửi 04-01-2017 - 16:32

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

http://diendantoanho...ac1c23geq-2abc/



#3 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 04-01-2017 - 16:43

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

Do $abc=1$ nên trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn $1$ hoặc cùng bé hơn $1$. (Nguyên lí Dirichlet)

 

Gải sử đó là $a$ và $b$:

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} (a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0 & \\ (a-1)(b-1)\geq 0 & \end{bmatrix}$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a^{2}b^{2}+1\geq a^{2}+b^{2} & \\ ab+1\geq a+b & \end{bmatrix}$

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+(a^{2}b^{2}+1)+2\geq (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+2+(a^{2}+b^{2})\geq \frac{2}{ab}+2+2ab=2(ab+1+c)$                

(Am-Gm)

 

Mà $a+b\leq ab+1\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+1+c)$

 

$\Rightarrow ĐPCM$

 

............................

 

 $"="$ ~ $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 04-01-2017 - 16:45

:huh:


#4 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 04-01-2017 - 23:21

Đặt $(a,b,c) \rightarrow \left( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right)$
Ta biến đổi bđt cần cm về
$$x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$$
Bất đẳng thức cuối quen thuộc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 04-01-2017 - 23:22


#5 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 08-05-2021 - 09:35

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh