Cho a,b,c dương$abc=1$
CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Cho a,b,c dương$abc=1$
CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
. Mây tầng nào gặp gió tầng ấy.
Cho a,b,c dương$abc=1$
CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
http://diendantoanho...ac1c23geq-2abc/
Cho a,b,c dương$abc=1$
CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Do $abc=1$ nên trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn $1$ hoặc cùng bé hơn $1$. (Nguyên lí Dirichlet)
Gải sử đó là $a$ và $b$:
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0 & \\ (a-1)(b-1)\geq 0 & \end{bmatrix}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} a^{2}b^{2}+1\geq a^{2}+b^{2} & \\ ab+1\geq a+b & \end{bmatrix}$
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+(a^{2}b^{2}+1)+2\geq (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+2+(a^{2}+b^{2})\geq \frac{2}{ab}+2+2ab=2(ab+1+c)$
(Am-Gm)
Mà $a+b\leq ab+1\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+1+c)$
$\Rightarrow ĐPCM$
............................
$"="$ ~ $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 04-01-2017 - 16:45
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 04-01-2017 - 23:22
Cho a,b,c dương$abc=1$
CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$
Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$
Ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh