Chủ đề này có 2 trả lời

[HoangSonzz]

Giả sử $A,B$ là hai tập mở đối với tôpô trên $X, A\cap B=\varnothing$ . Chứng minh rằng: $(\bar{A})^{\circ}\cap (\bar{B})^{\circ}=\varnothing$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-01-2017 - 11:19

[bangbang1412]

Bổ đề : Nếu $U,V$ là hai tập mở bất kì sao cho $U \cap V = \varnothing$ thì $\overline{U} \cap V = \varnothing$ . 

Chứng minh : 

Giả sử $x \in \overline{U} , V$ thế thì do $\overline{U} = U \cup U^{d}$ , hiển nhiên khi này $x \in U^{d}$ do đó mọi lân cận của $x$ có giao khác rỗng , ngoại trừ $x$ với $U$ . Nhưng $V$ là tập mở nên $V$ chứa một lân cận của $x$ nên vô lý . Vậy bổ đề được chứng minh . 

Ta giả sử kết luận sai . Thế thì gọi $x$ thuộc phần giao . Tồn tại hai lân cận của $x$ là $X,Y$ trong $\overline{A},\overline{B}$ . Nhưng ta lại thấy $\overline{T} = T \cup T^{d} , A \cap B = \varnothing$ nên ta chỉ cần xét trường hợp $x \in A^{d}, B^{d}$ . Khi đó tồn mọi lân cận của $x$ đều giao khác rỗng với $A$ ( loại trừ $x$ ) . Như vậy $(Y \subset \overline{B} )\cap A \neq \varnothing$ . Trái bổ đề nên có dpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-01-2017 - 11:59

[WhjteShadow]

Giả thiết $A\cap B=\varnothing$ tương đương $$A\subset X\setminus B.$$

Vì $X\setminus B$ là đóng nên

$$\overline{A} \subset X\setminus B,$$ 

Suy ra 

$$(\overline{A})^{o} \subset X\setminus B,$$

Tương đương với 

$$ (\overline{A})^{o} \cap B =\varnothing,$$

Tương tự trên, vì $(\overline{A})^{o}$ mở nên ta có dãy suy luận

$$B\subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$

$$\overline{B} \subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$

$$(\overline{B})^{o} \subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$

$$(\overline{A})^{o} \cap (\overline{B})^{o} =\varnothing.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-01-2017 - 13:23