Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-01-2017 - 20:36
Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$
#1
Đã gửi 08-01-2017 - 22:39
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#2
Đã gửi 09-01-2017 - 20:18
Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} &u_{1}=7,u_{2}=50 \\ &u_{n+1}=4u_{n}+5u_{n-1}-1975 \end{matrix}\right.$Chứng minh rằng với mọi $n\in N, n> 1$ thì $u_{1996}\vdots 1997$
Ta có
$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$
Đặt
$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$
Khi đó thì
$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$
Xét phương trình đặc trưng
$x^2-4x-5=0$
Có $2$ nghiệm là
$x_1=5; x_2=-1$
Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là
$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$
Ta lại có
$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$
Từ đó tìm ra
$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$
Do đó công thức của $u_n$ là
$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$
Suy ra
$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$
Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có
$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$
Vậy ta có đpcm.
P/s: Cách này trâu bò nhỉ?
#3
Đã gửi 09-01-2017 - 21:01
Ta có
$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$
Đặt
$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$
Khi đó thì
$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$
Xét phương trình đặc trưng
$x^2-4x-5=0$
Có $2$ nghiệm là
$x_1=5; x_2=-1$
Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là
$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$
Ta lại có
$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$
Từ đó tìm ra
$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$
Do đó công thức của $u_n$ là
$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$
Suy ra
$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$
Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có
$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$
Vậy ta có đpcm.
P/s: Cách này trâu bò nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 10-01-2017 - 12:34
- Dark Magician 2k2 yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#5
Đã gửi 10-01-2017 - 12:39
Còn có cách nào khác cho bài toán này nữa không nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 10-01-2017 - 12:40
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh