Chủ đề này có 7 trả lời

[tuyet tran]

Cho A=(a_ij)_mxn c M(mxn, K)

Xét ánh xạ tuyến tính 

à : Kⁿ -> K^m

          ^{x -> Ax}

Chứng minh rằng ma trận của à đối với cặp cơ sở chính tắc của Kⁿ và K^m chính là ma trận A.

[vutuanhien]

Cho A=(a_ij)_mxn c M(mxn, K)

Xét ánh xạ tuyến tính 

à : Kⁿ -> K^m

          ^{x -> Ax}

Chứng minh rằng ma trận của à đối với cặp cơ sở chính tắc của Kⁿ và K^m chính là ma trận A.

Đề nghị bạn gõ đề bài bằng Latex nhé.

Bài toán này hoàn toàn không có gì khó. Giả sử $e_{1}, e_{2},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^{n}$, $e'_{1},..., e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^{m}$. Khi đó $\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=(a_{ij})_{m\times 1}=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}e'_{j}$. Từ đó suy ra ngay đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 10-01-2017 - 22:15

[tuyet tran]

bạn nói rõ hơn được không ? mình vẫn chưa hiểu lắm

[tuyet tran]

Đề nghị bạn gõ đề bài bằng Latex nhé.

Bài toán này hoàn toàn không có gì khó. Giả sử $e_{1}, e_{2},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^{n}$, $e'_{1},..., e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^{m}$. Khi đó $\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=(a_{ij})_{m\times 1}=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}e'_{j}$. Từ đó suy ra ngay đpcm.

bạn nói rõ hơn được không ? mình vẫn chưa hiểu lắm 

[vutuanhien]

bạn nói rõ hơn được không ? mình vẫn chưa hiểu lắm 

Bạn nên nói rõ hơn bạn chưa hiểu ở chỗ nào để mình có thể giải thích rõ ràng.

Cái bạn cần là đọc lại khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính, sau đó thực hành tính toán thôi.

Định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính: Cho $V$, $W$ là các không gian vector và $f:V\to W$ là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử hệ $\alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{n}$ là cơ sở của $V$ và $\beta_{1},..., \beta_{m}$ là cơ sở của $W$. Như vậy ta có một biểu diễn tuyến tính:

$f(\alpha_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\beta_{i}$

Khi đó ma trận của ánh xạ $f$ đối với cặp cơ sở nói trên là $A=(a_{ij})_{m\times n}$. Nói một cách trực quan, là ta viết các tọa độ của $f(\alpha_{j})$ trong cơ sở $\beta_{1},..., \beta_{m}$ dưới dạng cột, rồi ghép các cột đó lại thì sẽ được ma trận $A$.

Trở lại bài toán, gọi $e_{1},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^n$, $e'_{1},...,e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^m$. Nhắc lại rằng $e_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

Ta có:

$\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_{i1} & \cdots &a_{ii} &\cdots &a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots &\cdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mi} & \cdots &a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}=\sum_{j=1}^{m}a_{ji}e'_{i}$

Từ đó áp dụng định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính thì bạn có ngay đpcm. Cụ thể hơn là tọa độ cột của $\tilde{A}(e_{i})$ trong cơ sở chính tắc của $K^m$ là \begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}.

Ghép các cột này lại sẽ được ma trận $A$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 11-01-2017 - 16:10

[tuyet tran]

Bạn nên nói rõ hơn bạn chưa hiểu ở chỗ nào để mình có thể giải thích rõ ràng.

Cái bạn cần là đọc lại khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính, sau đó thực hành tính toán thôi.

Định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính: Cho $V$, $W$ là các không gian vector và $f:V\to W$ là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử hệ $\alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{n}$ là cơ sở của $V$ và $\beta_{1},..., \beta_{m}$ là cơ sở của $W$. Như vậy ta có một biểu diễn tuyến tính:

$f(\alpha_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\beta_{i}$

Khi đó ma trận của ánh xạ $f$ đối với cặp cơ sở nói trên là $A=(a_{ij})_{m\times n}$. Nói một cách trực quan, là ta viết các tọa độ của $f(\alpha_{j})$ trong cơ sở $\beta_{1},..., \beta_{m}$ dưới dạng cột, rồi ghép các cột đó lại thì sẽ được ma trận $A$.

Trở lại bài toán, gọi $e_{1},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^n$, $e'_{1},...,e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^m$. Nhắc lại rằng $e_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

Ta có:

$\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_{i1} & \cdots &a_{ii} &\cdots &a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots &\cdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mi} & \cdots &a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}=\sum_{j=1}^{m}a_{ji}e'_{i}$

Từ đó áp dụng định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính thì bạn có ngay đpcm. Cụ thể hơn là tọa độ cột của $\tilde{A}(e_{i})$ trong cơ sở chính tắc của $K^m$ là \begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}.

Ghép các cột này lại sẽ được ma trận $A$. 

Cho mình hỏi là tại sao 

Hình gửi kèm

• 

[vutuanhien]

Cho mình hỏi là tại sao 

Chuyện này hiển nhiên, theo đúng định nghĩa của cơ sở chính tắc.

$e'_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

[tuyet tran]

Chuyện này hiển nhiên, theo đúng định nghĩa của cơ sở chính tắc.

$e'_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

ok !thank b