Đến nội dung

Hình ảnh

Vài điều lý thú về định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

- - - - - chao brouwer borsuk-ulam

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

Định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

 

 

Trong cái hỗn độn luôn có một trật tự nào đó , quả thật như vậy . Hai định lý toán học định lý điểm bất động Brouwer và định lý Borsuk-Ulam sẽ cho ta thấy một phần trật tự trong cái hỗn độn đó , và nó cũng là hai định lý rất nổi tiếng của toán học . 

Định lý điểm bất động Brouwer 

Trước tiên ta bắt đầu với một ví dụ : 

 

 

34-dinhlidiembatdong.jpg

 

400px-Mainpic134.jpg

 

Chúng ta lấy hai đĩa tròn một cái màu xanh một cái đỏ để đè lên nhau ,cái đỏ ở trên , dĩ nhiên đè khít lên sau đó chúng ta có thể bóp méo cái đĩa đỏ . Hoặc là chúng ta lấy hai tờ giấy đè sát lên nhau , nếu ta vo cục giấy kia thành hình " khá tròn " rồi để lên tờ còn lại , ép phẳng nó ra . Cũng tương tự như khi bạn làm với sợi dây hoặc xoay tròn nước trong một tách cafe .bạn lấy Định lý Brouwer nói với ta rằng luôn có một điểm tiếp xúc không thay đổi . Vậy một cách toán học thì thực ra các " bóp méo " của ta là thực hiện một ánh xạ liên tục lên chính dụng cụ ta đang dùng .

Ta cùng tham khảo thêm một số thông tin : 

Định lý điểm bất động Brouwer phát biểu năm $1912$ bởi nhà luận lý học người Hà Lan Luizen Egtebus Jan Brouwer . Đây là một trong các định lý toán học quan trọng của thế kỉ $20$ , ngày nay vẫn được mở rộng . Chứng minh của nó sử dụng phương pháp bậc của ánh xạ liên tục trong topo . Ngày nay đã có ít nhất $5$ chứng minh khác nhau . Sau đây là phát biểu nguyên thủy ( ta không tìm hiểu thêm mở rộng ) : 

" Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng trong $R^{n}$ vào chính nó phải có điểm bất động " .

Một thông tin khá thú vị mà mình tìm trên diendantoanhoc.net từ thành viên TieuSonTrangSi , xin phép trích lại đoạn đó : 

" Một trong những nhà luận lý , toán học người Hà Lan Jan Brouwer ( $1881 - 1966$) là người dẫn đầu trường phái trực giác . Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức của Hilbert và chủ nghĩa logic của Russell . Đặc biệt Brouwer bài bác tất cả các chứng minh sử dụng phép phản chứng . Theo ông mọi chứng minh phải có tính xây dựng . Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm Brouwer mất ăn mất ngủ và mất giá trị trong lính vực của mình ( topo ) . Ông không bao giờ dạy topo , chỉ dạy triết lý toán học theo phái trực giác . Có điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra chứng minh định lý điểm bất động rất quan trọng nhưng ở thế kỉ $21$ khi người ta nhắc đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer thì chứng minh ngắn nhất sử dụng phép phản chứng và người ta không thể đưa ra một phép xây dựng cho nó" .

Nhưng mặc cho như vậy , định lý này vẫn là một trong các định lý quan trọng của toán học .

Định lý Borsuk - Ulam

Trong khí tượng học có một định lý khá hay là : 

" Tại mọi thời điểm trên mặt cầu trái đất luôn tồn tại hai điểm mà ở đó có cùng nhiệt độ và áp xuất khí quyển . " 

Nhưng hay thay nó không liên quan lắm đến khí tượng hay gì cả , mà lại nằm trong phần bài tập sách topology của Munkres ( cười ) . Lịch sử về nó thì không nhiều lắm nên mình chỉ nêu phát biểu nguyên thủy của nó : 

" Mọi ánh xạ liên tục $f$ từ hình cầu $S^{n}$ vào $R^{n}$ luôn có hai điểm trái tọa độ nhưng lại cùng giá trị " , nôm na là tồn tại  $x \in S^{n}, f(x) = f(-x)$ . Bạn có thể hiểu $x$ và $-x$ là hai điểm đối xứng nhau qua tâm trái đất , còn $f(x),f(-x)$ là nhiệt độ hoặc áp xuất tại đó . 

Vậy trong khí tượng hàm nhiệt độ và áp xuất ra sao như nào mình không biết như trong toán nó là có lý . Dĩ nhiên ta nên bảo với mấy ông bên khí tượng là tại sao hai hàm của các ông lại liên tục vậy . Sau đây là một video liên quan đến nó và kết thúc bài viết của mình .

Nguồn : 
Youtube.com 
Wikipedia 
Math fun fact 
diendantoanhoc.net

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-01-2017 - 19:29

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
vietdohoangtk7nqd

vietdohoangtk7nqd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Mình có đọc trong quyển "một số vấn đề toán học chưa giải quyết được của Phạm Bình Đô, Đặng Hùng Thắng ..." về vấn đề này, mình thấy nó hay mà ứng dụng cũng nhiều, nó sát với thực tế, thầy chủ nhiệm của mình (hồi dại học ổng viết chuyên đề về topo) cũng thích nó, hồi thcs tưởng nó chỉ có trong toán cao cấp, thế mà lên thpt mới biết nó cũng có thể giải phương trình hàm ( dùng điểm bất đông) , và lâu rồi mình không quan tâm đến nó, nhưng hôm nay thấy bài viết này đăng thì niềm đam mê cũ bộc phát nên đăng vài dòng cho vui



#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

Mình có đọc trong quyển "một số vấn đề toán học chưa giải quyết được của Phạm Bình Đô, Đặng Hùng Thắng ..." về vấn đề này, mình thấy nó hay mà ứng dụng cũng nhiều, nó sát với thực tế, thầy chủ nhiệm của mình (hồi dại học ổng viết chuyên đề về topo) cũng thích nó, hồi thcs tưởng nó chỉ có trong toán cao cấp, thế mà lên thpt mới biết nó cũng có thể giải phương trình hàm ( dùng điểm bất đông) , và lâu rồi mình không quan tâm đến nó, nhưng hôm nay thấy bài viết này đăng thì niềm đam mê cũ bộc phát nên đăng vài dòng cho vui

Um mình lần đầu biết về cái này cũng trong quyển " Một số vấn đề toán học chưa giải quyết được " . Còn theo mình thấy thì không có chứng minh THPT , có chăng cho trường hợp $S^{1} , B^{2}$ thì hình như nếu $f(x) \neq x \forall x$ nó xét cái hàm là tia nối $x,f(x)$ cắt theo một chiếu đến $S^{1}$ nhưng đoạn sau vẫn dùng công cụ mạnh . 

Ở blog mình có ghi một chứng minh của Munkres về nó , ý tưởng là dùng ánh xạ $def$ chứng minh không có retraction từ $B^{n+1}$ lên $S^{n}$ và nonvanishing vector field .

http://phamkhoabang....xed-point.html 

Tuy nhiên sai ở định lý $1c$ do mình chưa học nhóm đồng luân cấp cao , mà lại nhầm nó với nhóm cấp $1$ . Tuy nhiên không có gì ảnh hưởng lắm và nó dùng phép " phản chứng " 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 10-01-2017 - 18:40

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 172 Bài viết

Bình luận: Định lý này cho ta một cách chứng minh khẳng định: $\mathbb{R}^n$ và $\mathbb{R}^m$ đồng phôi khi và chỉ khi $n = m$.


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

Bình luận: Định lý này cho ta một cách chứng minh khẳng định: $\mathbb{R}^n$ và $\mathbb{R}^m$ đồng phôi khi và chỉ khi $n = m$.

Để chứng minh cũng không đơn giản, không biết anh Linh có thể cho một chứng minh ở đây không? 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

Để chứng minh cũng không đơn giản, không biết anh Linh có thể cho một chứng minh ở đây không? 

Còn để chứng minh $\mathbb{R^{n}}, \mathbb{R^{m}}$ đồng phôi thì đơn giản, không cần tool mạnh như vậy thế này.

 

Cách $1:$ Nếu chúng đồng phôi thì $S^{m+1},S^{n+1}$ đồng phôi, điều này không thể được nếu $m$ khác $n$, có thể tính homotopy group hoặc homology group của nó. 

 

Cách $2:$ Dùng invariance of domain.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-04-2018 - 18:04

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#7
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 172 Bài viết

Để chứng minh cũng không đơn giản, không biết anh Linh có thể cho một chứng minh ở đây không? 

 

Ta giả sử $m \ge n+1$, khi đó $\mathbb{S}^n$ nhúng đồng phôi được vào $\mathbb{R}^m$, nhưng không nhúng đồng phôi được vào $\mathbb{R}^n$ theo định lý Borsuk-Ulam.


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#8
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 172 Bài viết

còn đây là một chứng minh ngắn cho định lý B-S

https://arxiv.org/abs/1205.4540


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#9
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

còn đây là một chứng minh ngắn cho định lý B-S

https://arxiv.org/abs/1205.4540

Cũng không ngắn lắm, đọc hiểu na ná vì ................ dốt giải tích nên đành nên đành học đại số.

 

Trước tiên ta có thể thu định lý về bài toán, không có hàm lẻ liên tục nào $g : S^{n} \to S^{n-1},  \geq 1$. Nếu tồn tại một hàm như vậy thì lấy topo thương nó cảm sinh một ánh xạ $\overline{f} : \mathbb{RP^{n}} \to \mathbb{RP^{n-1}}$. Lấy ánh xạ cảm sinh trên vành đối đồng điều $\overline{f^{*}}: H^{*}(\mathbb{RP^{n-1}},\mathbb{Z/2}) \to H^{*}(\mathbb{RP^{n}},\mathbb{Z/2})$. Vành đối đồng điều của $\mathbb{RP^{n}}$ là $\mathbb{Z/2}[x] / (x^{n+1})$. Hơn nữa nếu $\Omega \in H^{1}(\mathbb{RP^{n}},\mathbb{Z/2}) = \mathbb{Z/2}$ là phần tử sinh thì tích cup $\Omega^{k}$ là phần tử sinh của $H^{k}(\mathbb{RP^{n}}, \mathbb{Z/2}) = \mathbb{Z/2}$ ( characteristic class ) . Gọi $v : [0,1] \to S^{n}$ nối $x$ với $-x$ khi đó loop $p_{n}v: [0,1] \to \mathbb{RP^{n}}$ ( $p_{n}$ là phép chiếu của phủ ) thì $p_{n}v$ là phần tử sinh của $\pi_{1}(\mathbb{RP^{n}})$ còn $p_{n-1}gv$ là loop sinh của $\pi_{1}(\mathbb{RP^{n-1}})$, khi đó $f_{*}([p_{n}v]) = [fp_{n}v] = [p_{n-1}gv]$, thật vậy ta có $fp_{n}=p_{n-1}g$ ( $\mathbb{Z/2}$ ), áp dụng định lý Hurewicz và định lý hệ số phổ dụng cho đối đồng điều thì $f^{*}$ trên $H^{1}$ của hai cái này là id.

 

Bây giờ nếu $\overline{f^{*}}(x) = y$ với $x,y$ là phần tử sinh của $H^{1}(\mathbb{RP^{n-1}}), H^{1}(\mathbb{RP^{n}})$ thì vô lý vì lấy tích cup ta có $0 = \overline{f}^{*}(x)^{n} = \overline{f^{*}}(x^{n}) = y^{n} \neq 0$.   

 

Bình luận: vì ta giả sử tồn tại $g$ nên $f_{*}$ mới là đẳng cấu, thực tế mọi ánh xạ induce như vậy là trivial. Tuy nhiên chứng minh sẽ khó hơn chút.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-04-2018 - 20:39

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#10
damtson

damtson

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Mình có đọc trong quyển "một số vấn đề toán học chưa giải quyết được của Phạm Bình Đô, Đặng Hùng Thắng ..." về vấn đề này, mình thấy nó hay mà ứng dụng cũng nhiều, nó sát với thực tế, thầy chủ nhiệm của mình (hồi dại học ổng viết chuyên đề về topo) cũng thích nó, hồi thcs tưởng nó chỉ có trong toán cao cấp, thế mà lên thpt mới biết nó cũng có thể giải phương trình hàm ( dùng điểm bất đông) , và lâu rồi mình không quan tâm đến nó, nhưng hôm nay thấy bài viết này đăng thì niềm đam mê cũ bộc phát nên đăng vài dòng cho vui

Bạn cho mình hỏi quyển sách "một số vấn đề toán học chưa giải quyết được của Phạm Bình Đô, Đặng Hùng Thắng.." có bán ở đâu vậy, mình cũng quan tâm đến vấn đề này nhưng không thấy sách vở nào nói đến




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh