Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh di chuyển trên 1 đườnng cố định


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Lequynhdiep

Lequynhdiep

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 16-01-2017 - 21:50

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtr (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Q thuộc tia AP. Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đtr ngoại tiếp tam giác ABQ và ACQ. Chứng minh trung điểm của O1O2 di chuyển trên 1 đường cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lequynhdiep: 16-01-2017 - 22:02


#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 16-01-2017 - 21:51

Chứng minh điểm di chuyển trên 1 đth cố định

Ý bạn là sao ạ?


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#3 Lequynhdiep

Lequynhdiep

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 16-01-2017 - 21:56

Bài viết bị lỗi ạ ;-) ko đính kèm được ảnh . xl ạ

#4 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 16-01-2017 - 21:57

viết đề ra đi


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#5 Lequynhdiep

Lequynhdiep

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 16-01-2017 - 22:03

Rồi đó ạ ;-)

#6 NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:miền nam
  • Sở thích:tìm link

Đã gửi 16-01-2017 - 22:40

china TST 2010 https://www.artofpro...h364136p2000274



#7 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 17-01-2017 - 17:10

Cách của mình. Ta sẽ nhắc lại không chứng minh một số kết quả cơ bản sau.
1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. Khi đó $AP$ là đường đối trung đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
2. Trong tam giác $ABC$, đường đối trung đỉnh $A$ cắt $BC$ tại $D$. Khi đó $\frac{DB}{DC}= \frac{AB^2}{AC^2}$
Để xử lí cho gọn, đẹp trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau
$\textbf{Bổ đề}$ Cho tam giác $ABC$. Đường đối trung đỉnh $A$ cắt $BC$ tại $Q$. $O,I,J$ lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC,AQB,AQC$. Khi đó $OA$ chia đôi $IJ$.
$\textbf{Chứng minh}$
Kẻ $AH,AM$ là đường cao và là trung tuyến của tam giác $ABC$.
Dễ thấy phép vị tự quay tâm $A$ biến $\Delta AIJ \rightarrow \Delta ABC$ biến $H \rightarrow Q$. Mặt khác cũng có $\angle HAM= \angle QAO$ nên biến $ AM \rightarrow AO$. Lại có $AM$ là trung tuyến trong tam giác $ABC$ nên $AO$ là trung tuyến trong tam giác $AIJ$.

$\textbf{Quay lại bài toán}$
Qua $Q$ kẻ đường thẳng $\parallel BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Gọi $I,J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AQE,AQF$.
Theo bổ đề $OA$ chia đôi $IJ$. Ta sẽ chứng minh rằng $O_{1}I=O_{2}J$.
Thật vậy, có $\Delta AIO_{1} \sim \Delta QEB, \Delta AJO_{2} \sim \Delta QFC$ nên ta thu được biến đổi sau.
$$\dfrac{IO_{1}}{JO_{2}}= \frac{IO_{1}}{IA}\cdot \frac{IA}{JA} \cdot \frac{JA}{JO_{2}} = \frac{EB}{QE}\cdot \frac{AB}{AC}\cdot \frac{FQ}{FC}= \frac{AE^2}{AF^2} \cdot \frac{QF}{QE}=1$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 17-01-2017 - 17:11


#8 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 17-01-2017 - 20:35

2017_01_17_202659.jpg

Em thử chứng minh đơn giản xem sao.

- AO1 cắt (O1) tại D, AO2 cắt (O2) tại E. Dễ thấy D, Q, E thẳng hàng.

 

- AO cắt DE tại K, cắt (O) tại điểm thứ 2 là G. Dễ thấy D, B, G thẳng hàng, E, C, G thẳng hàng.

 

- Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O) tại điểm thứ 2 là N.

 

- Do AP là đường đối trung của AM nên góc $\angle BAQ = \angle CAM$. Vậy góc $\angle GDE = \angle NBC$. Tương tự có góc $\angle GED = \angle NCB$. Do đó ta có tam giác NBC và GDE đồng dạng.

 

- Tam giác NBC và GDE đồng dạng, M là trung điểm của BC, góc $\angle KGD = \angle MNB$ nên K là trung điểm của DE.

 

- Tam giác ADE có O1O2 // DE nên AK đi qua trung điểm của O1O2. Vậy trung điểm của O1O2 nằm trên đường AO cố định.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh