Gọi $W,R$ lần lượt là chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài góc $\angle A$. $T$ là chân tiếp tuyến tại $A$ nên $T$ là trung điểm $RW$.
Ta sẽ chứng minh $A,I,D,L$ đồng viên
Thật vậy, Gọi $S,Z$ là trung điểm cung lớn, cung nhỏ $BC$.
Gọi $U$ là giao điểm của $(AEIF)$ với $(O)$. $X$ là giao của $EF$ với $BC$
Theo 1 tính chất quen thuộc thì $UD$ là phân giác $\angle BUC$ nên $U,D,Z$ thẳng hàng
$(XD,BC) = -1$ nên $UX$ là phân giác ngoài $\angle BUC$ nên $UX$ đi qua $S \implies D$ là trực tâm $\triangle SXZ$ nên $XZ \perp DS$
Từ đây ta có $D,L,S$ thẳng hàng nên $\angle LAI = \angle LSZ = \angle IDS$ nên $A,I,D,L$ đồng viên
Gọi $P'$ là tâm $ADIL$. Do $A,D,I,R$ đồng viên nên $A,D,I,R,L$ đồng viên nên $P'$ là trung điểm $IR$
$\implies TP' \parallel AI$ nên $p' \equiv P$ tức là $P$ là tâm $(ARLDI)$
Gọi $Z'$ đối xứng $Z$ qua $N$ thì $Z'PZM$ là hình bình hành nên $PZ' = ZM = \frac{IL}{2} \implies Z'$ là trung điểm $RL$
Gọi $V$ là trung điểm $RS$. Ta có $\angle VRZ' = \angle RIZ$ và $\angle RVZ' = \angle RSL = \angle AZL$ nên $\triangle RZ'V \sim \triangle ILZ$
Từ đây ta có $\frac{RZ'}{RV}= \frac{IL}{IZ} \implies \frac{RZ'}{RS}= \frac{IL}{IJ}$ nên $\triangle ILJ \sim \triangle RSZ'$. Từ đây có $\angle RSZ' = \angle AJL$ mà $AJ \perp SR$ nên $LJ \perp SZ'$
$ON \parallel SZ'$ do là đường trung bình nên $ON \perp LJ$ $\square$