Chủ đề này có 10 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm $n$ nguyên dương để phương trình $x^{2}+y^{2}=n$ có nghiệm nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-01-2017 - 09:41

[royal1534]

Tìm $n$ nguyên dương thỏa mãn phương trình sau:

$x^{2}+y^{2}=n$

có nghiệm nguyên dương

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-01-2017 - 13:31

[bangbang1412]

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Tìm $n$ tức là tìm tất cả $n$ để cho nó biểu diễn được không phải chỉ ra tồn tại vô hạn

[royal1534]

Tìm $n$ tức là tìm tất cả $n$ để cho nó biểu diễn được không phải chỉ ra tồn tại vô hạn

Đề bài đâu yêu cầu tìm tất cả $n$ đâu anh.

Lời giải trên em chỉ ra với $n=3^{2^k}-1$ hoặc $n$ là số nguyên tố dạng $4k+1$ thì luôn tồn tại $x,y$. (Khi đó chọn $k$ bất kì thì luôn biểu diễn được ._.)

Có gì sai sót đại ca chỉ giáo  

[JUV]

Tất cả các số $n$ thoả mãn $v_p(n)\vdots 2$ với mọi $p$ nguyên tố dạng $4k+3$. Lưu ý rằng mọi số nguyên tố có dạng $4k+1$ đều biểu diễn được dưới dạng $x^2+y^2$ và nếu $a,b$ biểu diễn được thì $ab$ cũng biểu diễn được ($(x^2+y^2)(m^2+n^2)=(xm+yn)^2+(xn-ym)^2$). Ngược lại, dễ chứng minh nếu $n=x^2+y^2$ chia hết cho $p$ với $p$ nguyên tố dạng $4k+3$ thì cả $x,y$ đều chia hết cho $p$, từ đó tổng bình phương chia hết cho $p^2$ nên $v_p(n)\vdots 2$.

[tay du ki]

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Gọi m² là ước chính phương lớn nhất của n . Nên n = m²k

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây 

Điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương là 

+ Nếu k=1 thì m có ước nguyên tố dạng 4k+1

+ Nếu k>1 thì l không có ước nguyên tố dạng 4k-1 

P/s : Mình đọc trong quyển bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng  hình như là tập 1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 28-01-2017 - 17:12

[NTMFlashNo1]

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Tại sao bác lại chọn được $n=3^{2^k}-1$?

[I Love MC]

Đề bài đâu yêu cầu tìm tất cả $n$ đâu anh.

Lời giải trên em chỉ ra với $n=3^{2^k}-1$ hoặc $n$ là số nguyên tố dạng $4k+1$ thì luôn tồn tại $x,y$. (Khi đó chọn $k$ bất kì thì luôn biểu diễn được ._.)

Có gì sai sót đại ca chỉ giáo

Đề bài của bạn NTM có lẽ ghi thiếu đề kêu tìm $n$ thì mình nghĩ ta cũng nên tự hiểu là vét cạn 

[Zaraki]

Một câu hỏi khó hơn: Với mỗi $n$ như JUV nhắc đến, phương trình $x^2+y^2=n$ có bao nhiêu nghiệm nguyên $(x,y)$ ?

[royal1534]

Tại sao bác lại chọn được $n=3^{2^k}-1$?

À đây là một bài toán mình đọc được trong cuốn Problem From The Book.

Đề bài : Chứng minh rằng phương trình : $3^k=m^2+n^2+1$ có vô số nghiệm nguyên dương.

Đáp án là $k=2^n$ đã gợi ra cho mình cách chọn trên. Và có thể thấy nếu thay đổi số 3 thành một số thích hợp khác thì lời giải không bị thay đổi nhiều

[bangbang1412]

Một câu hỏi khó hơn: Với mỗi $n$ như JUV nhắc đến, phương trình $x^2+y^2=n$ có bao nhiêu nghiệm nguyên $(x,y)$ ?

Gọi $S(n)$ là tổng các $v_{p}$ thì số nghiệm là $2^{S(n)-1}$ dĩ nhiên là các lũy thừa không tính các số $4k+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 29-01-2017 - 11:30