nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongduong2406: 24-01-2017 - 20:22
nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongduong2406: 24-01-2017 - 20:22
nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
CM tương đương.
chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 24-01-2017 - 20:30
CM tương đương.
chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra x=y=3
dấu bằng xảy ra ???
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongduong2406: 24-01-2017 - 20:38
x=y=1/3 chứ
a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.
a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.
a+b+c=1
nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Cách khác
$M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Áp dụng BĐT $Am-GM$ ta có
$a^{2}+1= a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}=\frac{6a+8}{9}$
$\rightarrow \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9a}{6a+8}$
TT $\rightarrow \frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{9b}{6b+8};\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9c}{6c+8}$
$\rightarrow M\leq \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}=\frac{9}{2}-6(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$
Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có
$\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}$
$\rightarrow M\leq \frac{9}{2}-6.\frac{9}{3(a+b+c)+12}= \frac{9}{10}$
Cách khác
$M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Áp dụng BĐT $Am-GM$ ta có
$a^{2}+1= a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}=\frac{6a+8}{9}$
$\rightarrow \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9a}{6a+8}$
TT $\rightarrow \frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{9b}{6b+8};\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9c}{6c+8}$
$\rightarrow M\leq \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}=\frac{9}{2}-6(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$
Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có
$\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}$
Cách làm của bạn khả dụng khi tìm GTNN của M.
Cách làm của bạn khả dụng khi tìm GTNN của M.
Bài này không có Min đâu bạn
Hãy đánh giá thử bất đẳng thức cuối xem vì sao nó đúng?CM tương đương.
chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.
\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum (\frac{18}{25}a+\frac{3}{50})=\frac{9}{10}
nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$
Ta có $a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{9} \geq 10\sqrt[10]{\frac{a^{2}}{9^9}}=10\frac{\sqrt[5]{a}}{9^{\frac{9}{10}}}$(Cosi 10 số)
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}(a^{\frac{4}{5}}+b^{\frac{4}{5}} +c^{\frac{4}{5}})$
ta lại có => $\sqrt[5]{a^4} \leq \frac{\sqrt[5]{3}}{5}*( 4a+\frac{1}{3}) $(Cosi 5 số )
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}(\frac{\sqrt[5]{3}}{5}(4(a+b+c)+1))$
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}*\sqrt[5]{3} = \frac{9}{10}$ dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 10-02-2017 - 23:40
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh