Đến nội dung

Hình ảnh

$a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2) \ge 0$

Bắt đầu bởi Zaraki, 26-01-2017 - 13:03
bất đẳng thức bđt pi pi magazine

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki
Đã gửi 26-01-2017 - 13:03

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Nguyễn Đức Tấn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. Số 1 của PI đã đưa ra hai lời giải cho bài này.

 

P1. (Nguyễn Đức Tấn - PI số 1) Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức

$$a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2) \ge 0$$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 

#2
royal1534
Đã gửi 28-01-2017 - 17:19

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Nguyễn Đức Tấn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. Số 1 của PI đã đưa ra hai lời giải cho bài này.

 

P1. (Nguyễn Đức Tấn - PI số 1) Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức

$$a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2) \ge 0$$

Đầu năm làm bài trong tạp chí Pi cho may mắn :D 

Lời giải :

Đặt $$A=a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2)$$

       $$B=b(a+b)(a^2+b^2)+c(b+c)(b^2+c^2)+d(c+d)(c^2+d^2)+a(a+d)(a^2+d^2)$$

Ta có $$A-B=\sum ((a+b)(a^2+b^2)(a-b))=\sum (a^4-b^4)=0 \Rightarrow A=B$$

Vậy thì ta có $$2A=\sum (a^2+b^2)(a+b)^2 \geq 0 \Rightarrow A \geq 0$$


#3
KietLW9
Đã gửi 27-04-2021 - 19:13

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: $a(a+b)=a^2+ab=(\frac{a^2}{2}+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{2})+(\frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{2})=\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\geqslant \frac{a^2-b^2}{2}$

$\Rightarrow a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\geqslant \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)}{2}=\frac{a^8-b^8}{2}$

Tương tự: $b(b+c)(b^2+c^2)(b^4+c^4)\geqslant \frac{b^8-c^8}{2}$; $c(c+d)(c^2+d^2)(c^4+d^4)\geqslant \frac{c^8-d^8}{2}$; $d(d+a)(d^2+a^2)(d^4+a^4)\geqslant \frac{d^8-a^8}{2}$

Cộng theo vế bốn bất đẳng thức trên, ta được: $a(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)+b(b+c)(b^2+c^2)(b^4+c^4)+c(c+a)(c^2+a^2)(c^4+a^4)+d(d+a)(d^2+a^2)(d^4+a^4)\geqslant \frac{a^8-b^8+b^8-c^8+c^8-d^8+d^8-a^8}{2}=0(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = d = 0$   :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-04-2021 - 19:14

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 

Trở lại Bất đẳng thức và cực trị



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, bđt, pi, pi magazine

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Cơ sở
  3. → Bất đẳng thức và cực trị