USA DECEMBER TST
Ngày thi: 8 - 12 - 2016
Bài toán 1.
Trong một giải đấu thể thao, mỗi đội sử dụng nhiều nhất là $t$ màu áo. Một tập $S$ các đội được gọi là "có màu sắc nhận dạng được" nếu ta có thể gán cho mỗi đội trong $S$ một trong các màu áo của họ sao cho không có đội nào trong $S$ được gán một trong các màu áo của một đội khác cũng trong $S$.
Với mọi số nguyên $n$ và $t$, xác định số nguyên lớn nhất $g(n,t)$ sao cho trong một giải đấu bất kỳ mà tất cả các đội hợp lại sử dụng đúng $n$ màu áo, luôn tồn tại một tập "có màu sắc nhận dạng được" với ít nhất $g(n,t)$ phần tử.
Bài toán 2.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $T$ là điểm thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $\widehat{TAO}=90^{\circ}$. Đường tròn đường kính $AT$ cắt đường tròn $(BOC)$ tại hai điểm $A_1,\ A_2$ sao cho $OA_1<OA_2$. Các điểm $B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2$ được xác định tương tự.
a. Chứng minh rằng các đoạn $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ đồng quy.
b. Chứng minh rằng các đoạn $AA_2,\ BB_2,\ CC_2$ đồng quy tại đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.
Bài toán 3.
Cho $P,\ Q\in\mathbb{R} [x]$ là các đa thức khác hằng số, nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có nhiều nhất là ba số thực $\lambda$ sao cho $P+\lambda Q$ là bình phương của một đa thức.
- Hết -
P/s:
).
