Chủ đề này có 1 trả lời

[Subtract Zero]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ và $\sum a\geq 12$ . Tìm min

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ac}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 29-01-2017 - 21:53

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ và $\sum a\geq 12$ . Tìm min

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ac}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$

Đổi biến: $\left ( \sqrt{a},\sqrt{b} ,\sqrt{c}\right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$ khi đó: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 12$

 

$S=\sum \frac{x^{6}}{xy+2\sqrt{1+z^{3}}}=\sum \frac{x^{6}}{xy+2\sqrt{\left ( 1+z \right )\left ( z^{2}-z+1 \right )}}\geq \sum \frac{x^{6}}{xy+z^{2}+2}\\\geq \frac{\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx+6}\geq \frac{\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+6}$

 

Theo BĐT $\text{Holder}$, ta có: $\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( 1+1+1 \right )\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}\\\Rightarrow \left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )^{2}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}}{3}$

 

Từ đó: $S\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{3}}{6\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+18}$

 

Đặt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=t$  $(t \geq 12)$, ta sẽ chứng minh: $\frac{t^{3}}{6t+18}\geq \frac{96}{5}$       $(*)$

 

Thật vậy:

 

$(*)\Leftrightarrow 5t^{3}-576t-1728\geq 0\Leftrightarrow \left ( t-12 \right )\left ( 5t^{2}+60t+144 \right )\geq 0$

 

Vì bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $t \geq 12$ nên $S \geq \frac{96}{5}$

 

Vậy $\min S=\frac{96}{5}\Leftrightarrow a=b=c=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-01-2017 - 08:51