Chủ đề này có 6 trả lời

[tuyet tran]

$\varphi$ là tự đồng cấu ,cho mk hỏi  $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán của $\varphi$ nghĩa là sao ạ ?

[vutuanhien]

$\varphi$ là tự đồng cấu ,cho mk hỏi  $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán của $\varphi$ nghĩa là sao ạ ?

Có nghĩa là $\psi$ giao hoán với $\varphi$. $\varphi \psi=\psi \varphi$. Cụ thể hơn là $\varphi(\psi(\alpha))=\psi(\varphi(\alpha))$ với mọi vector $\alpha$

[tuyet tran]

Có nghĩa là $\psi$ giao hoán với $\varphi$. $\varphi \psi=\psi \varphi$. Cụ thể hơn là $\varphi(\psi(\alpha))=\psi(\varphi(\alpha))$ với mọi vector $\alpha$

b làm cho mk bài này với : CMR nếu tự đồng cấu $\varphi$ của không gian vecto n chiều V có n giá trị riêng khác nhau và $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán với $\varphi$ thì mỗi vecto riêng của $\varphi$ cũng là một vecto riêng của $\psi$ và $\psi$ có một cơ sở gồm toàn vecto riêng của nó

[vutuanhien]

b làm cho mk bài này với : CMR nếu tự đồng cấu $\varphi$ của không gian vecto n chiều V có n giá trị riêng khác nhau và $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán với $\varphi$ thì mỗi vecto riêng của $\varphi$ cũng là một vecto riêng của $\psi$ và $\psi$ có một cơ sở gồm toàn vecto riêng của nó

Giả sử tự đồng cấu $\varphi$ có $n$ giá trị riêng khác nhau là $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$,..., $\lambda_{n}$. Như vậy $\varphi$ tương ứng cũng sẽ có $n$ vector riêng khác nhau là $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$,..., $\alpha_{n}$. Theo một kết quả quen thuộc thì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) độc lập tuyến tính nên hệ này chính là cơ sở của không gian $V$.

Ta có $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=\psi(\varphi(\alpha_{1}))=\psi(\lambda_{1}\alpha_{1})=\lambda_{1}\psi(\alpha_{1})$. Như vậy $\psi(\alpha_{1})$ chính là một vector riêng của $\varphi$ ứng với giá trị riêng $\lambda_{1}$.

Giờ ta giả sử có một biểu thị tuyến tính: $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n}$. Như vậy $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=a_{1}\varphi(\alpha_{1})+...+a_{n}\varphi(\alpha_{n})=a_{1}\lambda_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\lambda_{n}\alpha_{n}$ và $\varphi(\psi(\alpha_{1})=\lambda_{1}(a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n})$. Vì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là một cơ sở của $V$ nên ta phải có $a_{i}\lambda_{i}=a_{i}\lambda_{1}$ với mọi $i=\overline{1,n}$. Vì $\lambda_{1}\neq \lambda_{i}$ với mọi $i\neq 1$ nên ta suy ra $a_{i}=0$ với mọi $i\neq 1$. Do đó $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}$. Như vậy $\alpha_{1}$ chính là vector riêng của $\psi$. Tương tự suy ra $\alpha_{i}$ là vector riêng của $\psi$ với mọi $i$. Đó là đpcm. Giờ chú ý rằng ta đã có ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là cơ sở của $V$ nên mệnh đề còn lại là hiển nhiên. 

[tuyet tran]

Giả sử tự đồng cấu $\varphi$ có $n$ giá trị riêng khác nhau là $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$,..., $\lambda_{n}$. Như vậy $\varphi$ tương ứng cũng sẽ có $n$ vector riêng khác nhau là $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$,..., $\alpha_{n}$. Theo một kết quả quen thuộc thì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) độc lập tuyến tính nên hệ này chính là cơ sở của không gian $V$.

Ta có $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=\psi(\varphi(\alpha_{1}))=\psi(\lambda_{1}\alpha_{1})=\lambda_{1}\psi(\alpha_{1})$. Như vậy $\psi(\alpha_{1})$ chính là một vector riêng của $\varphi$ ứng với giá trị riêng $\lambda_{1}$.

Giờ ta giả sử có một biểu thị tuyến tính: $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n}$. Như vậy $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=a_{1}\varphi(\alpha_{1})+...+a_{n}\varphi(\alpha_{n})=a_{1}\lambda_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\lambda_{n}\alpha_{n}$ và $\varphi(\psi(\alpha_{1})=\lambda_{1}(a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n})$. Vì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là một cơ sở của $V$ nên ta phải có $a_{i}\lambda_{i}=a_{i}\lambda_{1}$ với mọi $i=\overline{1,n}$. Vì $\lambda_{1}\neq \lambda_{i}$ với mọi $i\neq 1$ nên ta suy ra $a_{i}=0$ với mọi $i\neq 1$. Do đó $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}$. Như vậy $\alpha_{1}$ chính là vector riêng của $\psi$. Tương tự suy ra $\alpha_{i}$ là vector riêng của $\psi$ với mọi $i$. Đó là đpcm. Giờ chú ý rằng ta đã có ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là cơ sở của $V$ nên mệnh đề còn lại là hiển nhiên. 

thank b nhiều nhé !

[vutuanhien]

thank b nhiều nhé !

Thực ra chứng minh của mình thiếu. Gọi $\beta$ là một vector riêng của $\varphi$ ứng với giá trị riêng $\lambda_{k}$ và giả sử $\psi(\beta)=a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n}$. Bằng biến đổi như trên ta có $\psi(\beta)=a_k\alpha_{k}$. Vì $(\alpha_{1},...,\alpha_{n})$ là một cơ sở của $V$ nên $V=V_{1}+...+V_{n}$, trong đó $V_{i}$ là không gian con riêng ứng với giá trị riêng $\lambda_{i}$. Theo một bổ đề quen thuộc thì $V_{1}+...+V_{n}$ là một tổng trực tiếp nên $V=V_{1}\oplus ...\oplus V_{n}$. Suy ra $n=\dim{V}=\dim{V_{1}}+...+\dim{V_{n}}$ nên $\dim{V_{1}}=...=\dim{V_{n}}=1$. Mà $\beta, \alpha_{k}\in V_{k}$ nên tồn tại vô hướng $u$ sao cho $\alpha_{k}=u\beta$. Như vậy $\psi(\beta)=a_{k}u\beta$ nên $\beta$ là một vector riêng của $\psi$, đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-04-2017 - 17:12

[tuyet tran]

Thực ra chứng minh của mình thiếu. Gọi $\beta$ là một vector riêng của $\varphi$ ứng với giá trị riêng $\lambda_{k}$ và giả sử $\psi(beta)=a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n}$. Bằng biến đổi như trên ta có $\psi(\beta)=a_k\alpha_{k}$. Vì $(\alpha_{1},...,\alpha_{n})$ là một cơ sở của $V$ nên $V=V_{1}+...+V_{n}$, trong đó $V_{i}$ là không gian con riêng ứng với giá trị riêng $\lambda_{i}$. Theo một bổ đề quen thuộc thì $V_{1}+...+V_{n}$ là một tổng trực tiếp nên $V=V_{1}\oplus ...\oplus V_{n}$. Suy ra $n=\dim{V}=\dim{V_{1}}+...+\dim{V_{n}}$ nên $\dim{V_{1}}=...=\dim{V_{n}}=1$. Mà $\beta, \alpha_{k}\in V_{k}$ nên tồn tại vô hướng $u$ sao cho $\alpha_{k}=u\beta$. Như vậy $\psi(\beta)=a_{k}u\beta$ nên $\beta$ là một vector riêng của $\psi$, đpcm.

mấy bài này lằng nhằng quá , làm mk loạn hết cả lên rồi