Đến nội dung

Hình ảnh

$2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Với a,b,c$\geq$0. CMR $2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 09-02-2017 - 11:37

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Với a,b,c$\geq$0. CMR $2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$

Ta sẽ chứng minh: $\left ( a^{2}+1 \right )\geq \left ( a+1 \right )\sqrt[3]{\frac{a^{3}+1}{2}} \quad \quad (*)$

 

Thật vậy:

$(*)\Leftrightarrow 2\left ( a^{2}+1 \right )^{3}\geq \left ( a+1 \right )^{3}\left ( a^{3}+1 \right )\Leftrightarrow a^{6}-3a^{5}+3a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-3a+1\geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^{4}\left ( a^{2}+a+1 \right )\geq 0$     (đúng)

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại, ta có:

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\sqrt[3]{\frac{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )}{8}}$

 

Theo bất đẳng thức $\text{Holder}$, ta có: $\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )\geq \left ( abc+1 \right )^{3}$

 

Từ đó:

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\frac{ abc+1}{2}\\\Leftrightarrow 2\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 12-02-2017 - 19:19





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh