Đến nội dung

Hình ảnh

Tính khoảng cách từ tâm quả táo đến chiếc đũa

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Giả sử quả táo là một khối cầu tâm $I$ bán kính $R$. Chiếc đũa là một khối trụ tròn xoay thiết diện có bán kính $r$. Dùng chiếc đũa đâm xuyên thủng quả táo, thấy lượng táo rơi ra có thể tích đo được là $v$. Tính khoảng cách từ (trục) chiếc đũa tới tâm quả táo.
:D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-08-2022 - 10:48
Đổi tên tâm $O$ thành $I$ :D


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho trục của khối trụ là trục $Oz$, tâm $I$ của khối cầu thuộc trục $Ox$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ của khối cầu đến trục của hình trụ. Khi đó $I(d;0;0)$. Phần chung $\mathcal{H}$ của khối trụ và khối cầu là một thể trụ nên có thể tích là:

$$v=\iiint_{\mathcal{H}}dxdydz=\iint_{\mathcal{D}}\sqrt{R^2-(x-d)^2-y^2}dxdy,$$
trong đó $\mathcal{D}$ là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Dễ thấy $\mathcal{D}$ là hình tròn tâm $O$, bán kính $r$. Do đó:

$$v=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-(\lambda \cos \varphi -d)^2-\lambda^2\sin^2 \varphi} d\lambda=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$$

 

Về mặt lý thuyết thì có thể tính được tích phân $\int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$ bằng cách đổi biến và tách thành hai tích phân dạng $\int_{m}^{n}\sqrt{a^2-x^2}dx$, $\int_{m_2}^{n_2}\sqrt{a^2-x^2}xdx$. Nhưng rõ ràng là nó chả dễ tẹo nào.

Anh Thanh giúp em mở mang tầm mắt với, hic hic 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Gì mà ghê vậy Thế? Suy nghĩ theo hướng sơ cấp hơn xem nào! Giảm số chiều xuống còn $2$ Thể tích thành diện tích, hình trụ thành hình chữ nhật (khi xuyên sẽ là phần hiệu của hai hình viên phân.) Giải xong thử “nội suy” ra số chiều $3$ xem có được không?

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Sau đây mình làm bài toán trong mặt phẳng (nhờ thầy Thế vẽ hộ cái hình, máy tính mình bị hỏng, cảm ơn nhiều!)
- Xét hình tròn bán kính $R$ tâm tại gốc toạ độ $O$
- “Chiếc đũa” là cặp đường thẳng song song vuông góc với trục hoành, cắt đường tròn tại 2 cặp điểm.
- Góc chắn bởi đoạn ngắn là $\varphi$
- Góc chắn bởi đoạn dài là $\Phi$
- Diện tích “xâm chiếm” của chiếc đũa vào hình tròn là $s$
- Độ rộng của chiếc đũa là $2r$
- Khoảng cách (cần tìm) từ trục chiếc đũa đến tâm $O$ là $h$

 

screenshot_1660914107.png

Ta có:
$r=\frac{R}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}-\cos\frac{\Phi}{2}\right)$
$h=\frac{R}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\Phi}{2}\right)= R\cos\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \cos\left(\frac{\Phi-\varphi}{4}\right) \approx R\cos\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \;\;\;\;\;(\text{I})$
(Do góc $\frac{\Phi-\varphi}{4}$, tương đối nhỏ. Yên tâm việc xấp xỉ này không làm giảm giá trị của bài toán)
Diện tích hình viên phân lớn: $S_{vpl}=\frac{R^2}{2}(\Phi-\sin\Phi)$
Diện tích hình viên phân nhỏ: $S_{vpn}=\frac{R^2}{2}(\varphi-\sin\varphi)$
Nên: $s=\frac{R^2}{2}(\Phi-\varphi-(\sin\Phi-\sin\varphi))=R^2\left(\frac{\Phi-\varphi}{2}-\sin\frac{\Phi}{2}\cos\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\right)\approx R^2\left(\sin\left(\frac{\Phi-\varphi}{2}\right) -\sin\frac{\Phi}{2}\cos\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\right)$
$\Rightarrow s\approx R^2\left(\cos\frac{\varphi}{2}-\cos\frac{\Phi}{2}\right)\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\sin\frac{\Phi}{2}\right)=2rR \left(\sin\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\right) \;\;\;(*)$
$=4Rr\sin\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \cos\left(\frac{\Phi-\varphi}{4}\right) \approx 4Rr \sin\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \;\;\;\;\;(\text{II})$
Dễ dàng nhận ra $(*)$ chính là diện tích hình thang chắn bởi 4 điểm, tuy vậy kết quả xấp xỉ cuối cùng còn tốt hơn!
- Về lý thuyết, có hai phương trình, hai ẩn hoàn toàn có thể tìm được $\Phi$ và $\varphi$ từ đó tính được $h$. Tuy vậy cách xấp xỉ của ta cho kết quả tối ưu hơn!
- Từ $(\text{I})$ và $(\text{II})$ ta có kết quả:
$$h\approx \sqrt{R^2-\frac{s^2}{16r^2}}$$
——————
Xem hình vẽ bài toán trên là hình chiếu của chiếc đũa và quả táo trong không gian lên mặt phẳng …
mời thầy Thế!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-08-2022 - 20:07
Thêm hình vẽ


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cho em hỏi là trong trường hợp chiếc đũa cào trên bề mặt trái táo thì sao ạ? Tức là trên mặt phẳng, chiếc đũa chỉ "ăn" một hình viên phân.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Cho em hỏi là trong trường hợp chiếc đũa cào trên bề mặt trái táo thì sao ạ? Tức là trên mặt phẳng, chiếc đũa chỉ "ăn" một hình viên phân.

Câu hỏi rất hay và … ca này khó! $h\approx R$
Thôi cứ xem như giả thiết là bắt buộc đâm xuyên vậy!
Dù sao thì cũng không tính tuyệt đối được!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh