Chủ đề này có 18 trả lời

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO                      KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

         QUẢNG NGÃI                                                       NĂM HỌC 2016 - 2017

    Môn: TOÁN (Ngày thi: 23-02-2017)

 

 

 

Bài 1:  a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì $n^{5}+1999n+2017$ không phải là số chính phương

            b) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+5y^{2}+2xy+4y=12$

            c) Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10

Bài 2: a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}-\sqrt[3]{x-2}=1$

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=8 & \\ x+y+2xy=2 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $\frac{-5}{3}\leq x\leq \frac{5}{3}$; x ≠ 0 và $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$. Tính $P=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^{2}}}}{x}$   

          b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 12.

          Tìm GTNN của $M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}$

Bài 4:  1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và G là trọng tâm tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng IG.

            2) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt lấy trên cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP đều.

            a) Chứng minh rằng $CN^{2}-AP^{2}=2DP.BM$

            b) Xác định vị trí của M, N, P để tam giác MNP có diện tích bé nhất .

Bài 5: a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R, biết AB = c, AC = b, BC = a và thỏa mãn hệ thức $R(b+c)=a\sqrt{bc}$. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?  

             b) Trên mặt phẳng cho 6 điểm bất kỳ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng một hình tròn có bán kính bằng 1.

 

[Hoang Dinh Nhat]

 

Bài 2:

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=8 & \\ x+y+2xy=2 & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=8 & & \\ x+y+2xy=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(x^2-xy+y^2)=8 & & \\ (x+y)+2xy=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+y)((x+y)^2-3xy)=8 & & \\ (x+y)+2xy=2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt x+y=a, xy=b, ta có: $\left\{\begin{matrix}a(a^2-3b)=8 & & \\ a+2b=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2(1-b)(4(1-b)^2-3b)=8 & & \\ a=2(1-b) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b=0 & & \\ a=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x+y=2; xy=0$. Theo viet thì xy là nghiệm của pt: $x^2-2x=0 \Rightarrow x=2; y=0$ hoặc $x=0; y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-01-2023 - 16:20

[NHoang1608]

Bài 5 b). Chứng minh bằng phản chứng :

 Giả sử có thể phủ được cả 6 điểm bằng 1 đường tròn tâm O bán kính 1

TH1: 1 điểm trong các điểm đã cho trùng tâm O khi đó 5 điểm còn lại sẽ cách tâm 1 khoảng bé hơn 1 suy ra vô lí

TH2: các điểm trên không trùng tâm. Khi đó vẽ các bán kính đi qua 6 điểm trên.

Vì có 6 bán kính nên tồn tại 2 bán kính tạo thành 1 góc bé hơn $60^{\circ}$. Giả sử 2 bán kính OC và OD lần lượt đi qua A và B. Xét tam giác ABO có $\widehat{AOB}\leq 60^{\circ}$ suy ra $\widehat{OBA} + \widehat{OAB} \geq 120^{\circ}$ suy ra 1 trong 2 góc OBA và OAB phải lớn hơn $60^{\circ}$ không mất tính tổng quát giả sử $\widehat{OBA} \geq 60^{\circ}$ suy ra $AB \leq OA\leq OC = 1$ suy ra vô lí.

Vậy trong cả 2TH thì điều giả sử là sai suy ra không thể phủ 6 điểm đã cho bằng 1 hình tròn có bán kính bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-03-2017 - 08:06

[NHoang1608]

Bài 1 a) Ta có $n^{5}+1999n+2017=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)+2000n+2017=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)+2000n+2017$ là số có dạng $5k+2$ nên không thể là số chính phương với mọi $n$ là số nguyên.

          b) Ta có PT $\leftrightarrow (x+y)^{2}+(2y+1)^{2}=13=2^{2}+3^{2}=3^{2}+2^{2}$.

Từ đây chia thành các trường hợp và giải ra

          c) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-03-2017 - 08:39

[IMO20xx]

Bài 1c) Gọi số điểm 8, 9, 10 lần lượt là a, b, c. Ta có $8a + 9b + c = 100$ mà $a + b + c = 11$, suy ra $8a + 9b + 11-a-b=100$ hay $7a+8b=89$. Đây chính là phương trình vô định bậc nhất với điều kiện $0<a,b<11$.

[ngoisaouocmo]

Bài 5 đây :v Mình từng làm rồi

[NHoang1608]

Bài 3 mình nghĩ là tìm max chứ min bị ngược:

biến đổi biểu thức đã cho thành : $M=\frac{x-3}{x}+\frac{y-3}{y}+\frac{z-3}{z}=3-\frac{3}{x}-\frac{3}{y}-\frac{3}{z}$

Ap dung bdt Cauchy-Schwarzt : $\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\geq\frac{27}{x+y+z}=\frac{9}{4}$

Tu day suy ra $M\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

 

Ai làm bài 3 đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-03-2017 - 14:16

[hoangquochung3042002]

bài 1.a) Xét n có tận cùng từ 0 tới 9 đều thấy tổng có tận cùng bằng 7; mà một số chính phương không có tận cùng bằng 7 => $n^5+1999n+ 2017$ không là số chính phương.

b) $x^2+5y^2+2xy+4y=12<=> (x+y)^2+(2y+1)^2=13=4+9=9+4.$

c) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

bài 2. a) bằng cách lập phương => có phương trình $ x^2+3x-18=0$=> x=3; x=-6.

[hoangquochung3042002]

$a^2=10-2\sqrt{25-9x^2}=\frac{36x^2}{10+2\sqrt{25-9x^2}}=>10+2\sqrt{25-9x^2}=\frac{36x^2}{a^2}=>P=\frac{6\left | x \right |}{ax}.$

[hoangquochung3042002]

bài 2.b) $M=\frac{x-3}{x}+\frac{y-3}{y}+\frac{z-3}{z}=3-(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z})$.

Mà $(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z})$$\leq \frac{27}{12}=\frac{9}{4}$

=>$P\geq \frac{3}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4.

[NHoang1608]

bài 2.b) $M=\frac{x-3}{x}+\frac{y-3}{y}+\frac{z-3}{z}=3-(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z})$.

Mà $(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z})$$\leq \frac{27}{12}$ $=\frac{9}{4}$

=>$P\geq \frac{3}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4.

Đoạn này bị ngược chiều rồi nhé phải là lớn hơn hoặc bằng chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-03-2017 - 16:47

[hoangquochung3042002]

Đoạn này bị ngược chiều rồi nhé phải là lớn hơn hoặc bằng chứ

uk. nham.

[HoangKhanh2002]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO                      KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

         QUẢNG NGÃI                                                       NĂM HỌC 2016 - 2017

    Môn: TOÁN (Ngày thi: 23-02-2017)

 

 

 

Bài 1:  a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì $n^{5}+1999n+2017$ không phải là số chính phương

            b) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+5y^{2}+2xy+4y=12$

            c) Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10

Bài 2: a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+5}-\sqrt[3]{x-2}=1$

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=8 & \\ x+y+2xy=2 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $\frac{-5}{3}\leq x\leq \frac{5}{3}$; x ≠ 0 và $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$. Tính $P=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^{2}}}}{x}$   

          b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 12.

          Tìm GTNN của $M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}$

Bài 4:  1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và G là trọng tâm tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng IG.

            2) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt lấy trên cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP đều.

            a) Chứng minh rằng $CN^{2}-AP^{2}=2DP.BM$

            b) Xác định vị trí của M, N, P để tam giác MNP có diện tích bé nhất .

Bài 5: a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R, biết AB = c, AC = b, BC = a và thỏa mãn hệ thức $R(b+c)=a\sqrt{bc}$. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?  

             b) Trên mặt phẳng cho 6 điểm bất kỳ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng một hình tròn có bán kính bằng 1.

Bài 4:

Gọi J,D thứ tự là trung điểm BC,BA.
Hạ GE', IE BA.
JD là đường trung bình của tam giác ABC nên $JD=\dfrac{1}{2}AC=6$
$JA=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{15}{2}$
$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{9}{2}$
$\dfrac{AG}{AJ}=\dfrac{AE'}{AD}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow AE'=3$
Lại có:
$AE=\dfrac{AC+AB-BC}{2}=3 \Rightarrow E \equiv E' \Rightarrow \overline{G;I;E}$

Do đó: GI = 4 - 3 = 1 cm

[HoangKhanh2002]

Bài 4: 

            2) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt lấy trên cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP đều.

            a) Chứng minh rằng $CN^{2}-AP^{2}=2DP.BM$

            b) Xác định vị trí của M, N, P để tam giác MNP có diện tích bé nhất .

1. Ta có: $CN^2=MN^2-MC^2=MN^2-(a-BM)^2$

$(AP-MB)^2+AB^2=MP^2\Leftrightarrow AP^2=MP^2-AB^2+2AP.MB-MB^2$

Do đó: $CN^2-AP^2=MN^2-(a-BM)^2-(MP^2-AB^2+2AP.MB-MB^2)=MN^2-MP^2-a^2+2aBM-BM^2+AB^2-2AP.BM+MB^2=2aBM-2AP.BM=2BM(a-AP)=2BM.DP(đpcm)$

2. Ta có: $S_{MNP}=\frac{MP^2\sqrt{3}}{3}$

Do đó: $S_{MNP}(min)\Leftrightarrow MP(min)\Leftrightarrow MP=a\Rightarrow MP//AB$

Khi đó: $\Delta PDN=\Delta MCN\Rightarrow ND=NC\Rightarrow$ N là trung điểm của CD và $CM=DP=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

[kekkei]

 

            c) Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10

 

chỗ này chú Hùng ghi sai rồi ạ, là một học sinh có HƠN 11 bài kiểm tra...

[murasaki]

câu 6a làm như thế nào vậy mọi người

[013]

câu 6a làm như thế nào vậy mọi người

câu 6a hay 5a vậy bạn?

nếu là câu 5a thì

Trong (O) a< 2R

Áp dung bđt Côsi nên $a\sqrt{bc}=R(b+c)\geq 2R\sqrt{bc}\Rightarrow a\geq 2R$

Suy ra a=2R khi và chỉ khi b=c

Vậy Tam giác ABC là tam giác vuông cân

p/s Hồi thi cm được nó vuông mà quên đến việc b=c      

[Suga Min]

bài 4.2a) các bạn cho hỏi tại sao (AP−MB)2+AB2=MP2

[LoveMee1412]

bài 4.2a) các bạn cho hỏi tại sao (AP−MB)2+AB2

Hạ đường cao từ P rồi áp dụng Pytago chứng minh được công thức ạ