Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Basara

Basara

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

17190561_1809039736088024_84668280386510



#2
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{3}}{9}}=\frac{3}{2}$



#3
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{3}}{9}}=\frac{3}{2}$

đẳng thức dưới mẫu nhầm rồi thầy ạ ,,,, khi a=1,2        b=1,1      c= 0,7 thì sai đấy ạ      


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#4
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

đảo dấu bđt là ra

t k biết gõ latex


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#5
dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết

bất đẳng thức tương đương $\sum \frac{ab}{ab+1} \leq \frac{3}{2}$ đúng tại vì $VT \leq \sum(\frac{1}{4}+\frac{ab}{4})$ đến đây dễ rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 07-03-2017 - 21:12

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#6
DauKeo

DauKeo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

giải kĩ hơn đi ạ!!!



#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: 

$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\geqslant a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: 

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geqslant a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

$(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 3(x^3y+y^3z+z^3x)$

Ta được: 

$(a+b+c)^2\geqslant 3(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a})$

Do vậy 

$a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\geqslant a+b+c-\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh