Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 07-03-2017 - 12:14
#3
Đã gửi 07-03-2017 - 20:35
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{3}}{9}}=\frac{3}{2}$
đẳng thức dưới mẫu nhầm rồi thầy ạ ,,,, khi a=1,2 b=1,1 c= 0,7 thì sai đấy ạ
- dungxibo123 yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#4
Đã gửi 07-03-2017 - 21:07
đảo dấu bđt là ra
t k biết gõ latex
- dungxibo123 yêu thích
-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----
#5
Đã gửi 07-03-2017 - 21:10
bất đẳng thức tương đương $\sum \frac{ab}{ab+1} \leq \frac{3}{2}$ đúng tại vì $VT \leq \sum(\frac{1}{4}+\frac{ab}{4})$ đến đây dễ rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 07-03-2017 - 21:12
- Nguyenhungmanh yêu thích
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
#6
Đã gửi 07-03-2017 - 22:03
giải kĩ hơn đi ạ!!!
#7
Đã gửi 08-05-2021 - 09:05
Ta có:
$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\geqslant a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geqslant a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:
$(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 3(x^3y+y^3z+z^3x)$
Ta được:
$(a+b+c)^2\geqslant 3(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a})$
Do vậy
$a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\geqslant a+b+c-\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh