Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{Mathematics} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 09-03-2017 - 20:26

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng

$3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$



#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 09-03-2017 - 21:12

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng

$3(a+b+c)\geq \sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}$

Solution: Ap dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có: 

   $(\sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1})^{2}\leq (a+b+c)(\frac{8a^{2}+1}{a}+\frac{8b^{2}+1}{b}+\frac{8c^{2}+1}{c})$

Mà $ (a+b+c)(\frac{8a^{2}+1}{a}+\frac{8b^{2}+1}{b}+\frac{8c^{2}+1}{c})= (a+b+c)(8a+8b+8c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ 

       $= (a+b+c)(8a+8b+8c+a+b+c)= 9(a+b+c)^{2}$

Suy ra $(\sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1})^{2}\leq 9(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{8a^{2}+1}+\sqrt{8b^{2}+1}+\sqrt{8c^{2}+1}\leq 3(a+b+c)$ Q.E.D

DBRX khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 09-03-2017 - 21:23

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 10-03-2017 - 17:40

KMTTQ, $a \geq b \geq c$
Khi đó dễ cmr $a - \frac{1}{a} \geq b-\frac{1}{b} \geq c - \frac{1}{c}$
Và $3+ \sqrt{8+ \frac{1}{a^2}} \leq 3+ \sqrt{8+ \frac{1}{b^2}} \leq 3+\sqrt{8+\frac{1}{c^2}}$
Bđt cần cm tương đương với
$\sum \frac{a-\frac{1}{a}}{3+ \sqrt{8+\frac{1}{a^2}}} \geq 0$
Áp dụng bđt Cheybershev kết hợp điều kiện ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 10-03-2017 - 17:41





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh