Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Cho $H,K$ là hai nhóm con của $(G,\cdot)\!$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK=KH$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 thang200298

thang200298

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 09-03-2017 - 22:14

Cho $H, K$ là hai nhóm con của $\left ( G, \cdot \right )\!$. Đặt $HK= \left \{ ab, a\in H, b\in K \right \}$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK= KH$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-01-2023 - 09:26


#2 Minhcarnation

Minhcarnation

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:USA

Đã gửi 26-01-2023 - 04:20

$(\Rightarrow )$ Assume $HK\leq G$

Let $x,y \in HK$ we have: there exists $h_1 \in H, k_1 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK$

We have: $x^{-1} \in HK \Rightarrow (h_1k_1)^{-1} \in HK \Rightarrow k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH \Rightarrow HK \subseteq KH$

Similarly: $KH \subseteq HK$

So $HK = KH$

 

$(\Leftarrow )$ Assume $HK = KH$ there exists $h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK, h_2k_2 \in HK$

We have: $xy = h_1k_1h_2k_2 = h_1h_3k_3k_2 \in HK$ since $HK = KH \Rightarrow k_1h_2 = h_3k_3$ (Note that KH = KH does not mean that elements in HK are commute)

$x^{-1} = (h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}= h_2^{-1}k_2^{-1} \in HK$ since $HK = KH$

Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcarnation: 27-01-2023 - 07:43





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh