Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $H,K$ là hai nhóm con của $(G,\cdot)\!$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK=KH$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thang200298

thang200298

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Cho $H, K$ là hai nhóm con của $\left ( G, \cdot \right )\!$. Đặt $HK= \left \{ ab, a\in H, b\in K \right \}$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK= KH$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-01-2023 - 09:26


#2
Minhcarnation

Minhcarnation

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

$(\Rightarrow )$ Assume $HK\leq G$

Let $x,y \in HK$ we have: there exists $h_1 \in H, k_1 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK$

We have: $x^{-1} \in HK \Rightarrow (h_1k_1)^{-1} \in HK \Rightarrow k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH \Rightarrow HK \subseteq KH$

Similarly: $KH \subseteq HK$

So $HK = KH$

 

$(\Leftarrow )$ Assume $HK = KH$ there exists $h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK, h_2k_2 \in HK$

We have: $xy = h_1k_1h_2k_2 = h_1h_3k_3k_2 \in HK$ since $HK = KH \Rightarrow k_1h_2 = h_3k_3$ (Note that KH = KH does not mean that elements in HK are commute)

$x^{-1} = (h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}= h_2^{-1}k_2^{-1} \in HK$ since $HK = KH$

Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcarnation: 27-01-2023 - 07:43





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh