Cho $H, K$ là hai nhóm con của $\left ( G, \cdot \right )\!$. Đặt $HK= \left \{ ab, a\in H, b\in K \right \}$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK= KH$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-01-2023 - 09:26
Cho $H, K$ là hai nhóm con của $\left ( G, \cdot \right )\!$. Đặt $HK= \left \{ ab, a\in H, b\in K \right \}$, chứng minh $HK$ là một nhóm con của $G$ khi và chỉ khi $HK= KH$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-01-2023 - 09:26
$(\Rightarrow )$ Assume $HK\leq G$
Let $x,y \in HK$ we have: there exists $h_1 \in H, k_1 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK$
We have: $x^{-1} \in HK \Rightarrow (h_1k_1)^{-1} \in HK \Rightarrow k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH \Rightarrow HK \subseteq KH$
Similarly: $KH \subseteq HK$
So $HK = KH$
$(\Leftarrow )$ Assume $HK = KH$ there exists $h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK, h_2k_2 \in HK$
We have: $xy = h_1k_1h_2k_2 = h_1h_3k_3k_2 \in HK$ since $HK = KH \Rightarrow k_1h_2 = h_3k_3$ (Note that KH = KH does not mean that elements in HK are commute)
$x^{-1} = (h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}= h_2^{-1}k_2^{-1} \in HK$ since $HK = KH$
Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcarnation: 27-01-2023 - 07:43
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh