Đến nội dung

Hình ảnh

Về nhóm đồng điều của các cube suy biến

homology singular cube

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Gọi $I^{n}=[0,1] \times [0,1]... \times [0,1]$ là cube kì dị thứ $n$ . Một cube kì dị trong không gian topo $X$ là ánh xạ liên tục $T : I^{n} \to X$ , ví dụ $n=0,n=1$ thì tương ứng là $1$ điểm và $1$ path trong $X$ . Gọi $Q_{n}$ là nhóm abel tự do trên tập tất cả các cube singular . Một cube singular được gọi là degenerate nếu có không phụ thuộc vào một tọa độ nào đó . Dĩ nhiên tập các cube singular $=$ cube degenerat $+$ cube nondegenerate . Vậy gọi tương ứng $D_{n},C_{n}$ tương ứng nhóm abel tự do sinh bởi cube degenerate và nondegenerate ta có :

$$Q_{n} = D_{n} \bigoplus C_{n}$$

Vậy ta định có thể viết thành không gian thương theo tính chất của direct sum $C_{n} = Q_{n} / D_{n}$ . Giờ ta sẽ định nghĩa biên của một cube theo một cách đại số . Gọi $1 \leq i \leq n$ là một chỉ số cố định xét ánh xạ là các $(n-1)$ cube singular

$$A_{i}^{n}T,B_{i}^{n}T : I^{n-1} \to X$$

$$A_{i}^{n}T(s_{1},...s_{n}) = T(s_{1},s_{2},...s_{i-1},0,s_{i+1},...s_{n})$$

$$B_{i}^{n}T(s_{1},...s_{n}) = T(s_{1},s_{2}....s_{i-1},1,s_{i+1},...s_{n})$$

Biên của $T$ được định nghĩa là : 

$$\partial_{n} T : Q_{n}(X) \to Q_{n-1}(X)$$

$$\partial_{n} T = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i}(A_{i}^{n}T - B_{i}^{n}T)$$

Trước tiên ( Massey ) ta có một số đẳng thức sau gọi là $(*)$ 

$$A_{i}A_{j}T = A_{j-1}A_{i}T$$

$$B_{i}B_{j}T = B_{j-1}B_{i}T$$

$$A_{i}B_{j}T = B_{j-1}A_{i}T$$

$$B_{i}A_{j}T = A_{j-1}B_{i}T$$

Ta sẽ thấy rằng nếu $T$ là $n-cube$ degenerate trong $X$ thì $\partial_{n}(T) \in D_{n-1}(X), \partial_{n}(D_{n}(X)) \subset D_{n-1}(X)$ , xét dãy : 

$$C_{n+1}(X )\overset{\partial_{n+1}}{\rightarrow} C_{n}(X) \overset{\partial_{n}}{\rightarrow}C_{n-1}(X)$$

Khi đó restrict này sẽ thỏa mãn đẳng thức $\partial_{n-1}(\partial_{n}T) = 0$ thật vậy bạn có thể chứng minh từ các đẳng thức đã nêu ta có thể xét một chuỗi các đồng cấu $\partial_{1},\partial_{2},...$ thỏa mãn $\partial_{n-1}\partial_{n}=0$ giờ ta xét hai tập : 

$$Z_{n}(X) = kernel \partial_{n} = \left \{ u \in C_{n}(X) | \partial(u)=0 \right \}$$

$$B_{n}(X) = image \partial_{n+1} = \partial_{n+1}(C_{n+1}(X))$$

Dễ thấy rằng $B_{n}(X) \subset Z_{n}$ ta xét nhóm thương sau và gọi là nhóm đồng điều thứ $n$ của cube 

$$H_{n}(X) = Z_{n}(X) / B_{n}(X)$$ ( lúc ban đầu mình học thì nó gọi là kiểu $G/[G,G]$, còn một kiểu nữa không phải $I^{n}$ mà chỉ hạn chế trên singular complex $\Delta_{n} = \left \{ (t_{1},...t_{n}) | t_{i} \in [0,1] \forall 1\leq i \leq n , \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1 \right \}$ 

Nói chung cũng như kiểu nhóm cơ bản nó sẽ induce ra cái đồng cấu mà hai kg  cùng kiểu topo thì sẽ sinh ra đồng cấu tương ứng ở nhóm đồng điều thứ $n$ ngoài ra ta còn có một kết quả rất hay $H_{n}(S^{m}) \cong Z$ nếu $n=0,m$ và bằng $\cong 0$ nếu ngược lại . Một kết quả kinh điển mà mình biết nhưng bây giờ mới có khả năng chứng minh là không có một retraction thực sự nào từ $D^{n}$ vào $S^{n-1}$ kéo theo định lý bất động Brouwer . Thật vậy giả sử có một retraction $r : D^{n} \to S^{n-1}$ , xét inclusion map $j: S^{n-1} \to D^{n}$ ta có chuỗi $S^{n-1} \overset{j}{\rightarrow} D^{n} \overset{r}{\rightarrow} S^{n-1}$ ta có $r.j=id_{S^{n-1}}$ giờ ta induce nó thì sẽ có $(r.j)_{*} = r_{*}.i_{*} = id_{H_{n-1}(S^{n-1})}$ dẫn đến $r_{*} : H_{n-1}(D^{n}) \to H_{n-1}(S^{n-1})$ là toàn ánh nhưng không thể do $H_{n-1}(D^{n}) \cong 0$ còn $H_{n-1}(S^{n-1}) \cong Z$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-03-2017 - 22:22

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

$$\partial_{n-1}(\partial_{n}T)=\partial_{n-1}(\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}(A_{i}^{n}T-B_{i}^{n}T))=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\partial_{n-1}(A_{i}^{n}T)-\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\partial_{n-1}(B_{i}^{n}T) =\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}(\sum_{j=1}^{n-1}(-1)^{j}(A_{j}^{n-1}A_{i}^{n}T-B_{j}^{n-1}A_{i}^{n}T))-\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i}(\sum_{j=1}^{n-1}(-1)^{j}(A_{j}^{n-1}B_{i}^{n}T-B_{j}^{n-1}B_{i}^{n}T))=\sum (-1)^{\epsilon}(A_{i}A_{j}-A_{i}A_{j})+\sum (-1)^{\epsilon}(A_{i}B_{j}-A_{i}B_{j})+ \sum (-1)^{\epsilon}(B_{i}B_{j}-B_{i}B_{j})=0$$

Như một lẽ tự nhiên , giống như nhóm cơ bản nếu ta có một ánh xạ liên tục $f : X \to Y$ thế thế ta extend nó thành $f_{*}(T) = fT : Q_{n}(X) \to Q_{n}(Y)$ . Ta thấy nếu $T$ là cube kì dị thì $fT$ cũng kì dị , như vậy rõ ràng $f_{*} : D_{n}(X) \to D_{n}(Y)$ , vậy chia thương ta được đồng cấu $f_{*} : C_{n}(X) \to C_{n}(Y)$ . Một tính chất " diagram " của nó là $\partial_{n}f_{*} = f_{*}\partial_{n}$ . Ta cũng dễ thấy $f_{*} : Z_{n}(X) , B_{n}(X) \to Z_{n}(Y) , B_{n}(Y)$ ( respectively) vậy chia thương lại được đồng cấu $f_{*}: H_{n}(X) \to H_{n}(Y)$ dĩ nhiên ta có $(gf)_{*}=g_{*}f_{*}$ . Áp dụng đẳng thức này suy ra cho ta $X \cong Y$ ( homeo) thì $H_{n}(X) \cong H_{n}(Y)$ . Còn về homotopy type thì 2 không gian cùng type cũng suy ra $H_{n}(X) \cong H_{n}(Y)$ . Một định lý quan trọng là dãy Mayer-Vietoris : Cho không gian $X$  giả sử $U,V \subset X$ sao cho $U^{o} \cup V_{o}=X$ thì tồn tại một xích phức gọi là dãy Mayer-Vietoris :

$$... \rightarrow H_{n}(U\cap V) \overset{(i_{*},j_{*})}{\rightarrow} H_{n}(U) \oplus H_{n}(V) \overset{\psi_{*}}{\rightarrow} H_{n}(U \cup V) \overset{\Delta }{\rightarrow} H_{n-1}(U\cap V)\to ... H_{0}(U\cap V) \to 0$$ . 

Từ đây có thể tính được nhóm $H_{n}(S^{m})$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-03-2017 - 09:44

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Chém gió một mình cũng chán nhưng cứ note lại vì dù sao là thằng tập tõm đụng vào homology-cohomology ,mỗi ngày một tý gió để sau này có lớn còn biết hồi trc từng học . Trong nhiều trường hợp , định nghĩa kiểu trên khá phế vật vì nó chưa mang cho ta đầy đủ thông tin về các nhóm con . Vì dụ contractible của subspace , hay homotopy type cũng là một trường hợp . Một cách tổng quát ta cần miêu tả được một " homology " của cặp $(X,A)$ trong đó $A$ là một subspace của $X$ . Mà vẫn phải dựa trên định nghĩa thông thường , cụ thể nếu $A$ là empty thì $H_{n}(X,A)= H_{n}(X)$ . Gọi $A \subset X$ và $i: A \to X$ là inclusion map thì rõ ràng nó induces đơn cấu $i_{*} : C_{n}(A) \to C_{n}(X)$ do đó nhóm $C_{n}(A)$ là nhóm con $C_{n}(X)$ , đặt $C_{n}(X,A) = C_{n}(X) / C_{n}(A)$ . Dĩ nhiên biên của nó $\partial_{n} : C_{n}(X) \to C_{n-1}(X)$ cũng có tính chất $\partial_{n}(C_{n}(A)) \subset C_{n-1}(A)$ . Như vậy lại induces một đồng cấu $\partial_{*} : C_{n}(X,A) \to C_{n-1}(X,A)$ . Giờ ta lại đặt $H_{n}(X,A) = Z_{n}(X,A) / B_{n}(X,A) , Z_{n}(X,A) = kernel(\partial_{n}), B_{n}(X,A) = image(\partial_{n+1})$ , nó sẽ sinh ra diagram sau : 

 

cyclehomology.png

 

Mấy cái cột dọc là biên hết , $j_{*}$ là toàn cấu tự nhiên từ $C_{n}(X)  \to C_{n}(X,A)$ rõ ràng $i,j$ đều induces hai đồng cấu $i_{*} : H_{n}(A) \to H_{n}(X)$ và $j_{*} : H_{n}(X) \to H_{n}(X,A)$ . Giờ tìm cách định nghĩa $\partial : H_{n}(X,A) \to H_{n-1}(A)$ thì trước tiên ta thấy $j$ là toán cấu nên với mọi $u \in C_{n}(X,A)$ tồn tại $u' : j_{*}(u')=u$ giờ ta thấy $\partial(u') \in C_{n-1}(X)$ , diagram giao hoán nên $j_{*} \partial = partial j_{*}$ do đó $j_{*}(\partial(u')) \in C_{n-1}(X,A)$ . Nói chung là đã đn đc một đồng cấu như mong muốn , với đồng cấu này sinh ra dãy sau mà định lý quan trọng nhất phần này nói rằng nó là dãy khớp : 

 

$$... \overset{   j_{* } }{\rightarrow} H_{n+1}(X,A)  \overset{   \partial_{*}  }{\rightarrow} H_{n}(A)  \overset{  i_{*}   }{\rightarrow} H_{n}(X)  \overset{  j_{*}   }{\rightarrow} H_{n}(X,A)  \overset{  \partial_{*}   }{\rightarrow} ...$$

 

Nếu $A$ là nonempty thì thay $H_{0}(X)$ , $H_{0}(A)$ bởi $\overline{H}_{0}(A)$ ... Dĩ nhiên khi đặt một đối tương topo đặc biệt là các nhóm ta không bao giờ được bỏ qua relation giữa chúng [ objec aren't of great importance ] , ở đay thì dĩ nhiên là ánh xạ liên tục $f : (X,A) \to (Y,B)$ dĩ nhiên không có $f(A) \subset B$ thì chả làm gì đc . Khi đó nó induces $1$ cái đồng cấu tương ứng $f_{*}$ , mà nếu $f,g$ đồng luân thì đồng cấu cảm sinh là bằng nhau . Finish !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-03-2017 - 00:26

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Tiếp tục topic với excision , bài toán quan trọng nhất của phần này là . Cho một subspace $A \subset X$ , gọi $W$ là một subset của $A$ thỏa mãn $\overline{W} \subset A^{o}$ thế thì lát cắt này không thay đổi nhóm đồng điều thứ $n$ : 

$$H_{n}(X - W , A - W ) \cong H_{n}(X , A)$$

Với bài toán này giúp ta tính được một số nhóm đồng điều , ý tưởng chứng minh quan trọng nhất dựa vào định nghĩa mở rộng của phủ mở . Gọi $\partial$ là một họ không gian con của $X$ sao cho $X$ bị phủ bởi hợp các phần trong các tập trong họ này gọi là một phủ mở rộng . Một cube $T : [0,1]^{n} \to X$ được gọi là nhỏ bậc so với $\partial$ nếu $T([0,1]^{n})$ nằm trong ít nhất một tập của họ . 

Gọi $Q_{n}(X,\partial)$ là nhóm abel tự do sinh bởi tất cả các cube nhỏ bậc so với $\partial$ trong $Q_{n}(X)$ đặt $D_{n}(X,\partial) = D_{n}(X) \cap Q_{n}(X , \partial) , C_{n}(X,\partial) = C_{n} \cap Q_{n}(X,\partial) , C_{n}(X,A,\partial) = C_{n}(X,\partial) / C_{n}(A,\partial)$ tóm lại lại đặt tương tự các cái ban đầu thì inclusion map sẽ induce một đồng cấu :

$$\phi : C_{n}(X,A,\partial) \to C_{n}(X,A)$$

Bây giờ nếu $\partial$ là một phủ mở rộng thì sẽ có một bài toán rất khó đó là chứng minh $\phi$ tiếp tục induce ra đẳng cấu 

$$\phi : H_{n}(X,A,\partial) \to H_{n}(X,A)$$

Chứng minh quá dài không nêu ra ở đây tuy nhiên mình chưa hiểu rõ lắm ý nghĩa hình học của chứng minh vì nó xây dựng rất phức tạp , mà tác giả Massey bảo là đừng nhầm lẫn và bỏ quên ý tưởng hình học chứa đựng trong đó . Ý tưởng của nó áp dụng bổ đề số Lebesgue , một đoạn xây dựng giống với chứng minh 2 function same type homotopy thì induce ra 2 function same in homology group kiểu như này : 

$$g_{*}-f_{*} = \partial_{n+1}\phi_{n} + \phi_{n-1}\partial_{n}$$

Nhưng dĩ nhiên là khó hơn rất nhiều mình chỉ mới nắm đc cái ý tưởng cơ bản thế rồi sau đó áp dụng five-square-diagram-commutative-lemma

Note thêm từ định lý trên và mình cung cấp mấy cái này là finish chứng minh bài toán ban đầu :

$$C_{n}(X - W) / (C_{n}(X - W) \cap C_{n}(A) \cong C_{n}(X - W) / C_{n}( A - W) \cong (C_{n}(X - W) + C_{n})/C_{n}(A)$$

$$C_{n}(A ,\partial) \cong C_{n}(A)$$

Áp dụng vào $S^{n}$ để tính ( dĩ nhiên k dùng dãy Mayer ) thì mấu chốt là xét diagram sinh bởi các kg sau :

$$H_{i+1}(E_{-}^{n+1},S^{n}) \to H_{i+1}(S^{n+1},E_{+}^{n+1}) \to H_{i+1}(S^{n+1}-W,E_{+}^{n+1}-W) \to H_{i+1}(E_{-}^{n+1},S^{n})$$

Trong đó 

$$W = \left \{ (x_{1},x_{2}...x_{n+2}) \in S^{n+1} | x_{n+2} \geq \frac{1}{2}  \right \}$$

$$E_{-}^{n+1} =\left \{ (x_{1},x_{2}...x_{n+2}) \in S^{n+1} | x_{n+2} \leq 0  \right \}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-03-2017 - 00:23

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Tiếp tục tấn công vào basic of degree theory

Ta biết rằng $\widetilde{H_{n}}(S^{n}) \cong integers$ nên nếu cho $f_{*} : \widetilde{H_{n}}(S^{n}) \to \widetilde{H_{n}}(S^{n})$ thì luôn tồn tại một số $d = f_{*}(1)$ thỏa mãn $f_{*}(u) = du \forall u \in H_{n}(S^{n})$ ( từ giờ ghi là $H_{n}(S^{n})$ , số này gọi là degree của $f$ kí hiệu $deg(f)$ , ta liệt kê các tính chất rất quan trọng của ánh xạ này giúp ta giải quyết một loạt các bài toán  

$1)$ Hai ánh xạ $f,g$ đồng luân khi và chỉ khi $deg(f)=deg(g)$ ( định lý rất mạnh tuy nhiên nó thuộc homotopy theory nên không nêu ở  )

$2)$ Ta luôn có $deg(f.g) = deg(f).deg(g)$ do $f_{*}(g_{*}) = (fg)_{*}$ nên $f_{*}(g_{*}(u))=deg(f).g_{*}(u)=deg(f).deg(g).u =deg(fg).u$ 

$3)$ $deg(ID) = 1$

$4)$ $deg(C)=0$

$5)$ $\forall f: S^{0} \to S^{0} => deg(f)=0,1,-1$

$6)$ $f : S^{n} \to S^{n} ,f(x)=-x => deg(f)=(-1)^{n+1}$

$7)$ $f : S^{n} \to S^{n}$ và $f(x)$ khác $x$ với mọi $x$ thì $deg(f)=(-1)^{n+1}$

Sử dụng mấy cái này ta đi vào bài toán nonvanishing vector field và vài định lý " có thể sử dụng nhóm cơ bản để chứng minh " , như khi sử dụng nhóm cơ bản ta gặp một vấn đề là không thể chứng minh không có retraction nào $r : E^{n+1} \to S^{n}$ mà nó lại gặp ở tất cả các định lý này ( ví dụ Brouwe , Borsuk-Ulam , ... ) , cái này và cái vector field thì hiển nhiên . Một tính chất nữa là với mọi các không gian $X,Y$ sao cho homology group của nó là infinite cyclic thì đều có ánh xạ có bậc $d \in Z$ tùy ý . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-03-2017 - 22:30

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Một độ thị hữu hạn chính tắc , gọi tắt là đồ thị là một cặp $(X , X^{0})$ là một cặp gồm không gian Hausdorff $X$ và một tập con hữu hạn $X^{0}$ gọi là đỉnh , thỏa mãn :

$a)$ $X - X^{0}$ là hợp của các hữu hạn các tập con mở $e_{1},e_{2},...e_{k}$ gọi là cạnh , mỗi $e_{i}$ đồng phôi với $(0,1)$

$b)$ $\overline{e_{i}}-e_{i}=\dot{e_{i}}$ chỉ chứa hai điểm của tập đỉnh và $\overline{e_{i}} = [0,1]$

Trước tiên ta có kết quả quen thuộc là $\overline{H_{i}}(S^{n})= Z$ ( $n\geq 0$) nếu $i = n$ và $0$ nếu $i$ khác $n$ trong một số trường hợp $H_{n}(X/A) \cong H_{n}(X,A)$ và trong trường hợp này có lẽ đúng :

$$\begin{cases}

 & H_{q}(\overline{e_{i}},\dot{e_{i}})=Z \text{  if } q= 1\\

 & H_{q}(\overline{e_{i}},\dot{e_{i}})= 0\text{ if } q \neq 1

\end{cases}$$

Định lý $1$: Với $n \geq 0$ , không gian $X$ có họ các thành phần liên thông $X_{i\in I}$ khi đó ta có :

$$H_{n}(X) = \bigoplus H_{n}(X_{i \in I})$$

Định lý này vấn đúng với nhóm relative homology

$$H_{n}(X,A) = \bigoplus H_{n}(X_{i\in I},X_{i \in I} \cap A)$$

Định lý $2$ : Với inclusion map $i : (\overline{e_{i}},e_{i}) \to (X , X^{0})$ sẽ cảm sinh các đồng cấu $i_{*} : H_{n}(\overline{e_{i}},e_{i}) \to H_{n}(X,X^{0})$ ngoài ra ta còn có

$$H_{n}(X,X_{0}) = \bigoplus_{i=1}^{k}H_{n}(\overline{e_{i}},e_{i})$$

Từ đây sẽ suy ra $H_{n}(X,X^{0})$ là nhóm abel tự do hạng $k$ nếu $n=0$ và bằng $0$ nếu $n \neq 1$

Vậy bằng định lý trên ta xác định được dãy khớp sau :

$$0 \to H_{1}(X) \to H_{0}(X,X^{0}) \to H_{0}(X^{0}) \to H_{0}(X) \to 0$$

Nhận xét rằng :

$H_{0}(X^{0})$ là nhóm abel tự do có hạng bằng số đỉnh

$H_{n}(X)=0$ nếu $n > 1$

Ta biết rằng nhóm con của một nhóm abel tự do cũng là nhóm tự do . Ta định nghĩa đặc trưng Euler của đồ thị bằng số đỉnh trừ số cạnh ( tức là $V - E$ ) . Ta có định lý quan trọng của nhóm đồng điều đồ thị .

Định lý $3$ : Định lý gồm ba phần

$a)$ $H_{n}(X)=0$ nếu $n>1$

$b)$ $H_{1}(X)$ là nhóm abel tự do

$c)$ $rank(H_{0}(X)) - rank(H_{1}(X)) = V - E$

Ta thấy $H_{0}(X^{0})$ là nhóm abel tự do có hạng bằng số đỉnh không giảm tổng quát kí hiệu hệ $\left \{ v_{1},v_{2},...v_{m}  \right \}$ gồm các đỉnh là các phần tử sinh của $H_{0}(X^{0})$ . Để hiểu rõ hơn về nhóm $H_{1}(X,X^{0})$ rõ ràng ta cần tìm hiểu các phần tử sinh của các nhóm $H_{1}(\overline{e_{i}},\dot{e_{i}})$ .Từ tính chất khớp của dãy

$$0 \to \overline{H_{0}}(\dot{e_{i}}) \to H_{0}(\dot{e_{i}}) \to Z \to 0$$

Và đẳng cấu

$$H_{1}(\overline{e_{i}} ,\dot{e_{i}}) \cong Z \cong \overline{H_{0}}(\dot{e_{i}})$$

Ta có thể suy ra trong các nhóm $H_{1}$ có thể chọn phần tử sinh là $v_{\alpha}-v_{\beta}$ tương đương với sự định hướng của một cạnh . Vậy ta có thể thấy hệ sinh của $H_{1}(X,X^{0})$ gồm các cạnh định hướng

From Massey , a basic course in AG

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-04-2017 - 20:34

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#7
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Tương tự như trong nhóm cơ bản , ngta tìm đc một định lý ( kiểu kiểu Seifert-Van Kampen nhưng mình like cái này hơn)  , mà đã nêu ở trên gọi là dãy Mayer-Vietoris : Trước tiên xét không gian $X = A^{0} \cup B^{0} = A \cup B$ ta xét các inclusion map : 

$$i_{*} : H_{n}(A \cap B) \to H_{n}(A)$$

$$j_{*} : H_{n}(A \cap B) \to H_{n}(B)$$

$$k_{*}:H_{n}(A) \to H_{n}(X)$$

$$l_{*}:H_{n}(B) \to H_{n}(X)$$

$$\phi_{*} : H_{n}(A \cap B) \to H_{n}(A) \bigoplus H_{n}(B)$$

$$\psi_{*} : H_{n}(A) \bigoplus H_{n}(B) \to H_{n}(X)$$

$$\phi_{*}(x)=(i_{*}(x),j_{*}(x)) , x \in H_{n}(A \cap B)$$

$$\psi_{*}(u,v) = k_{*}(u)-l_{*}(v)$$ 

Trong post $4$ ta đã thấy rằng ánh xạ inclu cảm sinh đẳng cấu 

$$H_{n}(X,A,\partial) \cong H_{n}(X,A)$$

Trường hợp cụ thế hơn 

$$H_{n}(X,\partial) \cong H_{n}(X)$$

Với cách tương tự như trong post $3$ để định nghĩa một ánh xạ từ $H_{n}(X,A) \to H_{n-1}(A)$ ta có thể định nghĩa rất tự nhiên ánh xạ :

$$\Delta : H_{n}(X,\partial) \cong H_{n}(X) \to H_{n-1}(A \cap B)$$ khi đó dãy sau là dãy khớp , mà nếu $A \cap B$ khác rỗng thì dãy vấn khớp nếu ta thay các nhóm đồng điều gọn thành các nhóm đồng điều thông thường

$$... \overset{\Delta}{\rightarrow} H_{n}(A \cap B)\overset{\phi}{\rightarrow} H_{n}(A) \oplus H_{n}(B) \overset{\psi}{\rightarrow} H_{n}(X) \overset{\Delta}{\rightarrow} H_{n-1}(A \cap B) \overset{\phi}{\rightarrow}...$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-04-2017 - 19:15

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#8
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mất vài hôm nghiên cứu cái invariance of domain theorem giờ nghĩ lại vẫn thấy phê lòi . Nên sum up kết quả ở đây ai đọc thì đọc , phải nói là mình đọc Massey nhưng cứ thi thoảng search để hiểu bài hơn thì toàn recommend ra Hatcher , thế là thi thoảng phải đọc song song , Hatcher có vẻ trình bày kĩ " chút xíu " so với Massey ( ở thời điểm mình học ) 

Mệnh đề : Cho $(X,A)$ là một cặp topo space ($ A \subset X $) thế thì ta có hai mệnh đề : 

$a)$ Với mọi $u \in H_{n}(X,A)$ tồn tại một cặp compact $(C,D)$ sao cho ánh xạ tự nhiên cảm sinh $i_{*} : H_{n}(C,D) \to H_{n}(X,A)$ thỏa mãn tồn tại $u' \in H_{n}(C,D)$ mà $i_{*}(u')=u$

$b)$ Tương tự như trên nếu ta có $i_{*}(u')=0$ thì tồn tại một cặp compact $(C',D')$ thỏa $(C,D) \subset (C',D') \subset (X,A)$ mà ánh xạ tự nhiên cảm sinh đồng cấu $j_{*}: H_{n}(C,D) \to H_{n}(C',D')$ thỏa mãn $j_{*}(u')=0$

Mệnh đề này rất quan trọng để dẫn đấn định lý sau , Hatcher và Massey mỗi ng trình bày một style nhưng chung quy là y hệt nhau 

Định lý này gồm hai phần : 

Phần $1$ : Cho phép nhúng nào đó : ( phép nhúng $j : X \to Y$ là đồng phôi giữa $X$ và $f(X)$ ) 

$$h : I^{k} \to S^{n}$$ 

Thế thì ta có : 

$$\widetilde{H}_{i}(S^{n}-h(I^{k}))=0 \forall i$$

Phần $2$ : Cho phép nhúng :

$$h : S^{k} \to S^{n} ( k < n )$$ thế thì 

$$\widetilde{H}_{n-k-1}(S^{n}-h(S^{k})) = Z$$ và bằng $0$ trong mọi TH khác . 

Ta suy ra một số kết quả quan trọng

$1)$ $S^{n}$ không thể nhúng vào $R^{n}$ từ đây suy ra $R^{m}$ và $R^{n}$ đồng phôi khi và chỉ khi $m=n$. Một cái strong hơn là cho $M$ là một $n-$ đa tạp compact và $N$ là $n-$ đa tạp liên thông . Thế thì mọi phép nhúng $h : M \to N$ đều là đồng phôi

Chứng minh : 

Ta có $h(M)$ là compact , $N$ lại là đa tạp nên Hausdorff suy ra $h(M)$ đóng . Ta thấy $M$ mở nên theo IOD dưới đây $h(M)$ cũng mở vậy $h(M)$ đóng - mở mà $N$ connected nên có ngay $h(M) = N$ . Giờ áp dụng định lý quen thuộc ta có ngay $h$ là đồng phôi . Vậy bài toán đưa về xem xét $S^{n}$ và $R^{n}$ đồng phôi không ? Nhưng không thể do $S^{n}$ compact còn $R^{n}$ thì không . 

$2)$ ( Jordan curve theorem ) $S^{n} - S^{n-1}$  có đúng hai thành phần liên thông nhận $S^{n-1}$ làm biên

$3)$ ( Invariance of domain theorem ) Nếu $U,V$ là hai tập đồng phôi của $R^{n}$ , nếu một trong hai tập mở thì tập còn lại cũng thế . Một form khác là nếu nhúng được $f : U \to R^{n}$ trong đó $U$ open trong $R^{n}$ thì $f(U)$ mở , nói chung $f$ là đồng phôi giữa $U$ và $f(U)$

Chứng minh : Kết quả này có thể thay thế $R^{n}$ bởi $S^{n}$ nhờ trick $S^{n} \cong R^{n} + \infty$ nên ta sẽ chứng minh trên $S^{n}$ . Mọi điểm $x \in U$ sẽ có một lân cận đồng phôi với $B^{n}$ . Như vậy muốn chứng minh đồng phôi ta chỉ cần chứng minh ánh xạ là xánh xạ mở , tức $f(B^{n} - \partial B^{n})$ mở . Ta thấy khi hạn chế lên thì có một phép nhúng từ $B^{n},\partial B^{n}$ vào $S^{n}$ nên theo định lý ban đầu có thể thấy $S^{n} - f(\partial B^{n})$ có hai thành phần liên thông đường là $f(B^{n} - \partial B^{n})$ và $S^{n}-f(B^{n})$ , thứ nhất do hai tập này rời nhau cái thứ nhất thì liên thông đường cái thứ hai từ định lý trên . Lại thấy $S^{n}-f(\partial B^{n})$ mở nên liên thông và liên thông đường trùng nhau và mở nên $f(B^{n} - \partial B^{n})$ mở . Ta có đpcm .

$4)$ Mở rộng kết quả trên trên đa tạp : Cho hai đa tạp $n$ chiều $M,N$ nếu $U,V$ là hai tập con đồng phôi lần lượt của $M,N$ thì một trong hai tập $U,V$ mở thì cái còn lại cũng thế .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-04-2017 - 01:10

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#9
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Một vấn đề trong cách trình bày hệ thống các vấn đề của topo đại số , quyết định xem phạm trù nào hợp lý để nghiên cứu . Phạm trù quá hẹp cũng không được , các định lý sẽ không áp dụng được vào toán học nói chung , rộng quá sẽ dẫn đến khả năng sai hoặc không chứng minh được. CW-complex , một ctruc tuyệt vời mô tả một lớp rất rộng lớn các không gian . Khi tính toán với CW-complex sẽ mang ra rất nhiều kq áp dụng tổng quát cho các không gian tưởng như không liên quan gì tới nhau nhưng lại mang một ctruc riêng . Thông thường ta hay tìm cách chia để trị , với CW-complex thì tư tưởng đơn giản là bổ sung , xây dựng không gian mới từ không gian mới . 

Trước hết ta xét một số cấu trúc đơn giản và suy ra nhận xét chung 

Graph : ta có một tập vertices , sau đó ta bổ sung các cạnh vào để được graph , mỗi lần bổ sung cạnh tương ứng một khoảng mở và bằng quả cầu $U^{1}$ . Ta đã trình bày graph ở trên và nó rất đặc trưng cho kĩ thuật cao hơn của CW-complex 

Real line : Lấy tập các điểm nguyên rời rạc mà ta đã biết , xong đó bổ sung các đoạn $[n,n+1]$ vào . 

Triangulation of manifold : cái này khỏi nói 

Projective plane : Một cấu trúc rất quan trọng của các trường số , từ $R,C$ cho đến quaternion . Tuy nhiên cấu trúc của $R$ là phức tạp nhất . Xét một trường $F$ một mặt phẳng xạ ảnh $n$ chiều trên $F$ là tập tất cả các subspace $1$ chiều của không gian vector $(n+1)$ chiều trên $F$ . Nói chung ở đây chỉ qtam $R,C,Q_{4}$ . Ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương $x,y \in F^{n+1}, x \sim y <=> x = y\lambda , \lambda \neq 0$ và định nghĩ $FP^{n} = (F^{n+1}-0)/ \sim$ . Nói chung $FP^{n}$ nhận được bằng cách thêm một quả cầu vào $FP^{n-1}$ . ( lưu ý $RP^{n} = S^{n-1}/ ( x \sim -x)$ 

Giờ ta đi định nghĩa cách attach cell , vấn đề là từ một không gian đã biết ta attach cells vào và tính nhóm homology của kgian mới . Với $X^{*}$ là một không gian Hausdorff và $X$ là không gian đóng của $X^{*}$ sao cho $X^{*} - X$ là hợp các cell $e_{\lambda}^{n}$ , mỗi cell mở trong $X^{*}$ với điều kiện tồn tại attaching map :

$$f_{\lambda} : B^{n} \to \overline{e_{\lambda}}$$

Thỏa mãn $Sf(S^{n-1}) \subset X , f(B^{n}-S^{n-1}) = e_{\lambda}^{n}$ . Ta trang bị một weak topology cho nó , tức là nếu $A$ đóng trong $X^{*}$ khi và chỉ khi $A \cap X , f^{-1}_{\lambda}(A)$ đóng ta có định lý qtrong  sau giống như graph : 

Định lý : Cho $(X^{*},X)$ thỏa mãn các điều kiện trên khi đó $H_{q}(X^{*},X)=0$ với $q \neq n$ và $f_{\lambda *} : H_{n}(B^{n},S^{n-1}) \to H_{n}(X^{*},X)$ là đơn cấu . Ta còn có : 

$$H_{n}(X^{*},X) = \oplus f_{\lambda *}(H_{n}(B^{n},S^{n-1}))$$

Trong dãy homology của $(X^{*},X)$ thì nontrivial duy nhất là : 

$$0 \to H_{n}(X) \to H_{n}(X^{*}) \to H_{n}(X^{*},X) \to H_{n-1}(X) \to H_{n-1}(X) \to 0$$

Giờ thì CW-complex là gì , tức là cho trước không gian $X$ Hausdorff và các close subspace 

$$X^{0} \subset X^{1} \subset ... X^{n} ... $$

Thỏa mãn 

$i)$ $X^{0}$ là topo rời rạc , cell của nó gọi là vertice hay 0-cell 

$ii)$ $X = \cup X^{i}$

$iii)$ $X^{i}$ nhận được bằng cách attach $i$ cells từ $X^{i-1}$ 

$iv)$ Nó có weak topology , tức là $A$ đóng khi và chỉ khi $A \cap \overline{e^{n}}$ đóng với mọi $n\geq 0$

Giờ ta đến với cellular homology , đặt $K = \left \{ K^{n} \right \}$ là các skeleton trên một CW-complex nào đó , ta đjăt $C_{n}(K) = H_{n}(K^{n},K^{n-1})$ , một cách rất tự nhiên ta thấy một chain complex 

$$d_{n} : C_{n}(K) \to C_{n-1}(K)$$

Trong đó $d_{n}$ là hợp của $C_{n}(K) \to H_{n-1}(K^{n-1}) \to C_{n-1}(K)$ , đây là một chain complex vậy ta định nghĩa $H_{n}(K) = H_{n}(C(K))$ . Định lý qtrong nhất của CW-complex có lẽ là 

Định lý : cellular homology = singular homology , nói cách khác $H_{n}(X) = H_{n}(K)$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-05-2017 - 21:03

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#10
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Tạm thời ngưng cái CW-complexes vì mình cũng chưa ngấm nổi cái lý thuyết dài của nó , ta tìm cách miêu tả lại tất cả định nghĩa của đồng điều để mở rộng hơn đối tượng đang xét . Một dãy các nhóm abel và ánh xạ $\left \{ K_{n},\partial_{n} \right \}$ được gọi là một xích phức nếu $\partial_{n} : K_{n} \to K_{n-1}$ và thỏa $\partial_{n-1}\partial_{n}=0 => Im(\partial_{n+1}) \subset ker(\partial_{n})$ với mọi $n$ 

Cái này thì giống với định nghĩa của boundary map : 

Giờ ta xét các nhóm quan trọng hơn 

$$Z_{n}(K) = ker(\partial_{n})$$

$$B_{n}(K) = Im(\partial_{n+1})$$

$$B_{n}(K) \subset Z_{n}(K)$$

$$H_{n}(K) = \frac{Z_{n}(K)}{B_{n}(K)}$$

Cho hai xích phức $K,K'$ , một ánh xạ $f : K \to K'$ gọi là chain map nếu $f = \left \{ f_{n} \right \}$ và thỏa mãn điều điện :

$$\partial'_{n}f_{n}=f_{n-1}\partial_{n}$$

Cái này thì là commutative square diagram thôi ( tại không biết vẽ ra ) 

Bây giờ nếu $f$ là chain map rõ ràng ta thấy nó induces ra $f^{*}$ cũng là một chain map của xích đồng điều : 

$$f^{*} : H(K) \to H(K')$$

Cho $f,g : K \to K'$ là hai chain map , một homotopy chain giữa $f,g$ cũng là một chain map $D = \left \{ D_{n} \right \} : K_{n} \to K'_{n+1}$ thỏa mãn : 

$$f_{n}-g_{n} = \partial'_{n+1}D_{n} + D_{n-1}\partial_{n}$$ 

Quan hệ $\cong$ ( homotopy ) là quan hệ tương đương , ta có thể dễ dàng chứng minh nếu $f \cong g$ thì $f^{*} = g^{*}$ , bây giờ quan trọng nhất là quay lại với dãy khớp : 

Một dãy giữa các xich phức : 

$$.... \to K \overset{f}{\rightarrow} K' \overset{g}{\rightarrow} K'' \to ...$$

Được gọi là khớp nếu các dãy sau khớp với mọi $n$ trong formal sense : 

$$... \to K_{n} \overset{f_{n}}{\rightarrow} K'_{n} \overset{g_{n}}{\rightarrow} K''_{n} \to ...$$

Thông thường với chain complex ta chỉ quan tâm tới giữa khớp ngắn 

$$ 0 \to K \overset{f}{\rightarrow} K' \overset{g}{\rightarrow} K'' \to 0$$ 

Cái này kiểu như dãy $C(X,A) , C(X) , C(A)$ , vậy ta tìm cách định nghĩa boundary map : 

$$\partial_{n} : H_{n}(K'') \to H_{n-1}(K)$$ 

Mình sẽ ghi lại cái này dù post $2$ đã ghi rồi , nếu ai vẽ commutative diagram ra sẽ rất dễ nhìn . Từ dãy khớp ta thấy $f_{n},g_{n}$ lần lượt đơn ánh và toàn ánh .  Nói chung mình ghi cho $K_{n}$ vì $Z_{n}(K) / B_{n}(K)$ ghi đó sẽ cần một đại diện trong cycle trong $K_{n}$

+ Với $\alpha \in K''_{n}$ 

+ $g_{n}$ toàn ánh nên tồn tại $t \in K'_{n}$ sao cho $g_{n}(t) = \alpha$ 

+ Xét phần tử $\partial'_{n}(t)$ , ta thấy $\alpha$ là cycle nên theo commutative ta thấy $g_{n-1}(\partial'_{n}(t))=0$ nên $\partial'_{n}(t) \in Im(f_{n-1})$ 

Định lý quan trọng nhất phần này có lẽ là : 

Cho hai xích phức abel tự do $K,K'$ thế thì một chain map $f : K \to K'$ là homotopy chain khi và chỉ khi $f^{*} : H_{n}(K) \to H_{n}(K')$ là đẳng cấu với mọi $N$ 

Gọi $K$ là một xích phức và $G$ là một nhóm abel thế thì tích $K \bigotimes G = \left \{ K_{n} \bigotimes G , \partial_{n} \bigotimes id_{G} \right \}$ và $f : K \to K'$ là chain map thì $f \bigotimes id_{G} : K \bigotimes G \to K' \bigotimes G$ , nếu $D$ là chain homotopy equivalence giữa $f,g$ thì $D \bigotimes 1 , f \bigotimes 1 , g \bigotimes 1$ cũng vậy . 

Ta muốn xem xét tính chất dãy khớp ngắn : 

$$0 \to K \to K' \to K'' \to 0$$

Nhưng thực chất điều này không đúng trong tổng quát , ta chỉ có : 

$$ K  \bigotimes G \to K' \bigotimes G \to K'' \bigotimes G \to 0$$ 

Vẫn là dãy khớp , muốn dãy ban đầu khớp phải thêm một điều kiện là tồn tại $s : K'' \to K$ ( không phải chain map ) sao cho $g_{n}s_{n} = 1$ , khi đó nó gọi là dãy chẻ . Nếu dãy 

$$0 \to K \to K' \to K'' \to 0$$

Khớp và chẻ . Thì dãy sau cũng khớp và chẻ

$$0 \to  K  \bigotimes G \to K' \bigotimes G \to K'' \bigotimes G \to 0$$ 

Một trong những tính chất hay của nhóm abel tự do là nếu $K''$ là abel tự do thì mọi dãy khớp dạng trên đều chẻ , điều này có lợi khi ta làm việc với singular homology 

Xét dãy : 

$$ 0 \to D(X) \to Q(X) \to C(X) \to 0$$

Là dãy khớp và chẻ : 

Thế thì dãy 

$$ 0 \to D(X) \bigotimes G = D(X , G) \to Q(X) \bigotimes G = Q(X,G) \to \frac{Q(X,G)}{D(X,G)} \to 0$$

Cũng là khớp và chẻ : 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 24-04-2017 - 22:28

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#11
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Định lý hệ số phổ dụng ( cứ gọi vậy vì có được đi học đâu mà biết dịch sao cho hay ) cho đối điều nhóm là một định lý tương tự như nhóm đồng điều vậy , mình nêu một chứng minh ngắn cho nó .Phát biểu như sau :
Gọi $K$ là một xích phức của các nhóm abel tự do và $G$ là một nhóm abel bất kì . Khi đó ta có dãy khớp chẻ sau :
$$ 0 \to \mathrm{Ext}(H_{n-1}(K),G) \to H^{n}(\mathrm{Hom}(K,G))  \overset{\beta}{\rightarrow} \mathrm{Hom}(H_{n}(K),G) \to 0$$
Ánh xạ connecting $\beta$ là tự nhiên với nhóm $G$ và các ánh xạ xích ( chain map ) . Tính chẻ thì chỉ tự nhiên với hệ số nhóm $G$ .
Một số sách sẽ nêu bổ đề sau , nếu $G$ là một nhóm chia được thì ta có đẳng cấu
$$\alpha : H^{n}(\mathrm{Hom}(K,G)) \to \mathrm{Hom}(H_{n}(K),G)$$
Bổ đề này có thể dùng để chứng minh định lý trên tuy nhiên ở đây tôi chứng minh trực tiếp định lý ( nhưng không chứng minh tính chẻ được ) và suy ra bổ đề như một hệ quả , vì như ta đã biết nếu $B$ là nhóm chia được thì $\mathrm{Ext}(A,B)=0$ với mọi nhóm abel $A$
Chứng minh :
Xét dãy khớp chẻ sau  :
$$0 \to Z_{*} \to C_{*} \to B_{*} \to 0$$
Áp $\mathrm{Hom}( , G)$ vào dãy khớp chẻ ta vẫn thu được dãy khớp chẻ :
$$0 \to \mathrm{Hom}(B_{*},G) \to \mathrm{Hom}(C_{*},G) \to \mathrm{Hom}(Z_{*},G) \to 0$$
Dãy khớp chẻ này sinh ra dãy khớp đối đồng điều :
$$... \to H^{k-1}(Z_{*},G)\overset{\partial_{k-1}}{\rightarrow} H^{k}(B_{*},G) \to H^{k}(C_{*},G) \to H^{k}(Z_{*},G) \overset{\partial_{k+1}}{\rightarrow} \to ...$$
Ở đối đồng điều của $Z$ và $C$ bị triệt tiêu coboudary operator nên ta có :
$$... \to \mathrm{Hom}(Z_{k-1},G)\overset{\partial_{k-1}}{\rightarrow} \mathrm{Hom}(B_{k-1},G) \to H^{k}(C_{*},G) \to \mathrm{Hom}(Z_{k},G) \overset{\partial_{k}}{\rightarrow} \mathrm{Hom}(B_{k},G) \to ...$$
Hiển nhiên ta thu được dãy khớp rút gọn :
$$0 \to \mathrm{coker}(\partial_{k-1}) \to H^{k}(C_{*},G) \to \mathrm{ker}(\partial_{k}) \to 0$$
Lưu ý rằng
$$\mathrm{Ext}(H_{k-1}(K),G) \cong \mathrm{coker}(\partial_{k-1})$$
$$\mathrm{Hom}(H_{k}(K),G) \cong \mathrm{ker}(\partial_{k}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh
Không biết tại sao một số sách không gọi đây là universal coefficient theorem for cohomology mà nó gọi là dual universal coefficient theorem nhưng thôi không nêu thêm cái đó ra vì lq đến finite type

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh