Chứng minh : $C_{2n}^{n}\vdots (n+1)$
$C_{2n}^{n}\vdots (n+1)$
Bắt đầu bởi yagami wolf, 16-03-2017 - 12:44
#1
Đã gửi 16-03-2017 - 12:44
#2
Đã gửi 16-03-2017 - 20:46
Ta có
\[\left(2n+1\right)\dbinom{2n}{n}=\dfrac{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!}{\left(n!\right)^2} = \dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)!}{n!\left(n+1\right)!}=\left(n+1\right)\dbinom{2n+1}{n+1}\]
Từ đó ta suy ra
\begin{equation} \label{eq:1} n+1\mid \left(2n+1\right)\dbinom{2n}{n} \end{equation}
Chú ý rằng $\left(2n+1,n+1\right)=1$. Thật vậy, giả sử $\left(2n+1,n+1\right)=d\neq 1$ thì $d\mid 2n+1- 2\left(n+1\right)$. Từ đó ta có ngay $d\mid 1$, vô lý. Vậy $\left(2n+1,n+1\right)=1$. Khi đó, từ \eqref{eq:1} ta suy ra ngay
\[n+1\mid \dbinom{2n}{n}\]
Đó là điều phải chứng minh
- Element hero Neos và Saitohsuzuko001 thích
$$\text{Vuong Lam Huy}$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh