Đến nội dung

Hình ảnh

$C_{2n}^{n}\vdots (n+1)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
yagami wolf

yagami wolf

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Chứng minh : $C_{2n}^{n}\vdots (n+1)$



#2
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Ta có

\[\left(2n+1\right)\dbinom{2n}{n}=\dfrac{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!}{\left(n!\right)^2} = \dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)!}{n!\left(n+1\right)!}=\left(n+1\right)\dbinom{2n+1}{n+1}\]

 

Từ đó ta suy ra

\begin{equation} \label{eq:1} n+1\mid \left(2n+1\right)\dbinom{2n}{n} \end{equation}

 

Chú ý rằng $\left(2n+1,n+1\right)=1$. Thật vậy, giả sử $\left(2n+1,n+1\right)=d\neq 1$ thì $d\mid 2n+1- 2\left(n+1\right)$. Từ đó ta có ngay $d\mid 1$, vô lý. Vậy $\left(2n+1,n+1\right)=1$. Khi đó, từ \eqref{eq:1} ta suy ra ngay

\[n+1\mid \dbinom{2n}{n}\]

 

Đó là điều phải chứng minh


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh