Đến nội dung

Hình ảnh

$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$

- - - - - phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nghiapnh1002

Nghiapnh1002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$



#2
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$ (1)

Nếu $f(n)=C,$ với $C$ là hằng số thì thế vào (1) ta được: $2C=C^{2}+2,$ phương trình này vô nghiệm, vậy suy ra $f$ không phải là hàm hằng.

Từ (1), thế $m=0$ ta được: $f(n)+f(-1)=f(0).f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}.$

$\Leftrightarrow \left [ f(0)-1 \right ].f(n)=f(-1)-2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (2)

Nếu $f(0)-1\neq 0$ thì từ (2) suy ra $f$ là hàm hằng, vô lý.

Vậy $f(0)=1$ và $f(-1)=2.$

Từ (1) thế $m=-1$ ta được: $f(n-1)+f(-n-1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (3).

Từ (3) thế $n$ bởi $-n$ ta được: $f(-n-1)+f(n-1)=2f(-n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $f(n)=f(-n), \forall n\in \mathbb{Z}$ và (3) trở thành:

$f(n-1)+f(n+1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (5).

Xét dãy số $\left ( x_{n} \right )_{n=0}^{+\infty }$ như sau: $x_{n}=f(n), \forall n=0, 1, 2, ...$

Từ (5) ta có: $x_{n+1}+x_{n-1}=2x_{n}+2, \forall n\in \mathbb{N}.$

Giải phương trình này ta được: $x_{n}=n^{2}+1\Rightarrow f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{N}.$

Do $f$ là hàm chẵn trên $\mathbb{Z}$ nên ta suy ra: $f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{Z}.$

Thử lại thấy thỏa mãn.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh