Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$
#1
Đã gửi 18-03-2017 - 21:12
#2
Đã gửi 06-09-2017 - 17:10
Tìm tất cả các hàm số$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$ (1)
Nếu $f(n)=C,$ với $C$ là hằng số thì thế vào (1) ta được: $2C=C^{2}+2,$ phương trình này vô nghiệm, vậy suy ra $f$ không phải là hàm hằng.
Từ (1), thế $m=0$ ta được: $f(n)+f(-1)=f(0).f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}.$
$\Leftrightarrow \left [ f(0)-1 \right ].f(n)=f(-1)-2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (2)
Nếu $f(0)-1\neq 0$ thì từ (2) suy ra $f$ là hàm hằng, vô lý.
Vậy $f(0)=1$ và $f(-1)=2.$
Từ (1) thế $m=-1$ ta được: $f(n-1)+f(-n-1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (3).
Từ (3) thế $n$ bởi $-n$ ta được: $f(-n-1)+f(n-1)=2f(-n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (4).
Từ (3) và (4) suy ra: $f(n)=f(-n), \forall n\in \mathbb{Z}$ và (3) trở thành:
$f(n-1)+f(n+1)=2f(n)+2, \forall n\in \mathbb{Z}$ (5).
Xét dãy số $\left ( x_{n} \right )_{n=0}^{+\infty }$ như sau: $x_{n}=f(n), \forall n=0, 1, 2, ...$
Từ (5) ta có: $x_{n+1}+x_{n-1}=2x_{n}+2, \forall n\in \mathbb{N}.$
Giải phương trình này ta được: $x_{n}=n^{2}+1\Rightarrow f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{N}.$
Do $f$ là hàm chẵn trên $\mathbb{Z}$ nên ta suy ra: $f(n)=n^{2}+1, \forall n\in \mathbb{Z}.$
Thử lại thấy thỏa mãn.
- yeutoan2001 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh