Chủ đề này có 10 trả lời

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO             KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

            BÌNH ĐỊNH                                                   KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017

         Đề chính thức                                                        Môn thi: TOÁN

                                                                             Thời gian:150 phút  (không kể thời gian phát đề)

                                                                             Ngày thi: 18/3/2017

 

 

 

Bài 1:  1) Cho biểu thức $P=\frac{2m+\sqrt{16m}+6}{m+2\sqrt{m}-3}+\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}-1}+\frac{3}{\sqrt{m}+3}-2$

                       a) Rút gọn P.

                       b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.

            2) Cho biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2:  a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

            b) Cho phương trình $2x^{2}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số). Có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ .

                Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1+x_{1}^{2}}{x_{1}}- \frac{1+x_{2}^{2}}{x_{2}}\right )^{2}$

Bài 3: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng $\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+zx}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

Bài 4: 1) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.

             a) Chứng minh MB + MC = MA

             b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2S')}{3R}$

          2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$. Chứng minh MA là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$  

[Ngoc Hung]

Bài 3: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng $\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+zx}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

 

$\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+zx}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}} \right )=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\leq \frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

[HoangKhanh2002]

Bài 1: 

            2) Cho biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2:

            b) Cho phương trình $2x^{2}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số). Có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ .

                Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1+x_{1}^{2}}{x_{1}}- \frac{1+x_{2}^{2}}{x_{2}}\right )^{2}$

Bài 1

2) $(a+b+c)\mid 4\Rightarrow a+b+c=4z(z\in Z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=4z-c\\ b+c=4z-a\\ c+a=4z-b \end{matrix}\right.$

Thay vào P ta có: $P=(4z-a)(4z-b)(4z-c)-abc=4(16z^3-4bz^2-4az^2-4cz^2+abz+bcz+caz)-2abc$

Giả sử 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 2 tức a, b, c đều chia 3 dư 1$\Rightarrow a+b+c$ chia 2 dư 1 (trái với giả thiết $(a+b+c)\mid 4$). Do đó có ít nhất một trong 3 số a, b, c chia hết cho 2

Suy ra đpcm

Bài 2

2) Nhận thấy ac < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-3m}{2}\\ x_{1}x_{2}=-\frac{\sqrt2}{2} \end{matrix}\right.$

Thế vào M ta có: $M=\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1+x_{1}^{2}}{x_{1}}- \frac{1+x_{2}^{2}}{x_{2}}\right )^{2}=(x_{1}-x_{2})^2+(\frac{x_{2}+x_{1}^2x_{2}-x_{1}-x_{2}^2x_{1}}{x_{1}x_{2}})=(x_{1}-x_{2})^2+(x_{2}-x_{1})^2(\frac{1-x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}})^2=(x_{1}-x_{2})^2\left [ 1+\frac{(1-x_{1}x_{2})^2}{(x_{1}x_{2})^2} \right ]=((x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2})\left [ 1+\frac{(1-x_{1}x_{2})^2}{(x_{1}x_{2})^2} \right ]=(9+\frac{9\sqrt{2}}{2})^2m^2+8+8\sqrt{2}\geq 8+8\sqrt{2}$

[ViaUyennhi]

Có ai làm giúp bài 4.2 đi

[NMD202]

Đề này hôm 18.03 mình mới thi nè 
1.2 

P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 2abc

Vì a + b + c   $\vdots$ 4 nên có ít nhất 1 số chẵn $\Rightarrow$ 2abc $\vdots$ 4 $\Rightarrow$ dpcm

  

 

[HoangKhanh2002]

Bài 4

          2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$. Chứng minh MA là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$  

PS: Đây là bài tập 288 sách NCPT Toán 9 tập 2

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K

+) Ta có: $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{FDA}=\widehat{KDA};MK\perp AD\Rightarrow \Delta AMK$ cân tại A

+) Lại có: $\widehat{EDB}+\widehat{EAB}=180^o$. Do MK song song với BC và giả thiết ta có: $\widehat{EDB}=\widehat{EKM};\widehat{BAE}=\widehat{MAN}\Rightarrow \widehat{EKM}+\widehat{MAN}\Rightarrow MANK$ nội tiếp

Từ 2 điều trên ta có: $\widehat{xNA}=\widehat{AMK}=\widehat{AKM}=\widehat{ANM}$. Suy ra AN là phân giác ngoài $\widehat{DNM}$ của tam giác DNM. Kết hợp DA là phân giác $\widehat{MDN}$

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp trong $\widehat{MDN}$ của tam giác MDN

Vậy: MA là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 20-03-2017 - 18:49

[murasaki]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO             KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

            BÌNH ĐỊNH                                                   KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017

         Đề chính thức                                                        Môn thi: TOÁN

                                                                             Thời gian:150 phút  (không kể thời gian phát đề)

                                                                             Ngày thi: 18/3/2017

 

 

 

Bài 1:  1) Cho biểu thức $P=\frac{2m+\sqrt{16m}+6}{m+2\sqrt{m}-3}+\frac{\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}-1}+\frac{3}{\sqrt{m}+3}-2$

                       a) Rút gọn P.

                       b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.

            2) Cho biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2:  a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

            b) Cho phương trình $2x^{2}+3mx-\sqrt{2}=0$ (m là tham số). Có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ .

                Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1+x_{1}^{2}}{x_{1}}- \frac{1+x_{2}^{2}}{x_{2}}\right )^{2}$

Bài 3: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng $\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+zx}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$

Bài 4: 1) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.

             a) Chứng minh MB + MC = MA

             b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2S')}{3R}$

          2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$. Chứng minh MA là tia phân giác của góc $\widehat{NMF}$  

giúp mình câu 4.1.b với

[adteams]

Bài 4 nhìn giống bài chuyên ngữ năm nhiu nhiu ý :V

[NMD202]

Bài 4: 1) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.
             a) Chứng minh MB + MC = MA
             b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức $MH+MI+MK=\frac{2\sqrt{3}(S+2S')}{3R}$

 
4.1

a.Trên AM lấy điểm D sao cho AD = MC

Dễ dàng chứng minh được $\bigtriangleup$ADB=$\bigtriangleup$CMB (c.g.c)

$\Rightarrow$ BD = BM 

$\Rightarrow$  $\bigtriangleup$BDM cân tại B 

mà $\widehat{BMD}$ = $\widehat{BCA}$ = $60^{\circ}$ (cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow$ $\bigtriangleup$BDM đều

$\Rightarrow$ MB = DM

$\Rightarrow$ MB + MC = DM + AD = MA (dpcm)

 

b. Ta có: $MH.AB + MI.BC + MK.CA$

$= 2S_{ABM} + 2S_{BMC} + 2S_{ACM} $

$= 2(S_{ABC} + 2S_{BMC})$

$= 2(S + 2S')$

$\Leftrightarrow (MH + MI + MK) = \frac{2(S + 2S')}{a}$

mà $a = R.\sqrt{3} \Rightarrow MH + MI + MK = \frac{2\sqrt{3}(S+2S')}{3R}$

 

[saomayman]

"từ cấm"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi saomayman: 27-02-2018 - 08:49

[doraemon123]

Full đáp án:

https://ndtls.com/de...-hoc-2016-2017/